Fuerza central conservadora y órbitas estables.

No toda fuerza central admite una órbita circular ya que sólo una interacción atractiva puede equilibrar el término centrífugo repulsivo. Por otro lado, toda fuerza de atracción tiene una órbita circular ya que por una elección apropiada del momento angular el término centrífugo,$L^2/2\mu r^2$, se puede elegir para cancelar la interacción atractiva,$U(r)$. Finalmente, el potencial atractivo no es suficiente para la existencia de órbitas estables.

La órbita circular de radio$r_0$es estable si y solo si$U_{\mathrm{eff}}(r_0)$corresponde a un mínimo del potencial efectivo,

$$U_{\mathrm{eff}}(r)=\frac{L^2}{2\mu r^2}+U(r).$$ Esto implica que la segunda derivada de $U_{\mathrm{eff}}$a $r_0$debe ser positivo. Por eso, $$U''(r_0)>-\frac{3L^2}{\mu r_0^4}.\tag1$$

Para órbitas circulares, la fuerza efectiva radial (que incluye fuerzas de interacción y centrífugas) desaparece y luego$U_{\mathrm{eff}}(r_0)'=0$. De este modo

$$r_0^3=\frac{L^2}{\mu U'(r_0)}.$$ Reemplazando esto en la ecuación (1) obtenemos la siguiente condición $$\frac{U''(r_0)}{U'(r_0)}+\frac{3}{r_0}>0,$$ para órbitas estables. Como ejemplo, suponiendo un potencial atractivo con una ley de potencia $U=kr^{n}$, la última ecuación nos da que tiene órbitas estables solo para $n>-2$.

Cabe mencionar que existen diferentes conceptos de estabilidad con respecto al movimiento orbital. La supuesta aquí, para la cual se cumple el resultado anterior, dice que una órbita circular es estable si permanece acotada bajo pequeñas perturbaciones (una órbita acotada es aquella cuyo radio está limitado por$r_{\mathrm{min}}\leq r\leq r_{\mathrm{max}}$). Un concepto diferente y también común es la Estabilidad de Lyapunov. En este caso, entre todas las fuerzas centrales de ley de potencia, solo el oscilador armónico da órbitas estables .

Este no va a ser un tratamiento riguroso, pero puedes hacerte una idea de lo que está pasando considerando el potencial efectivo del cuerpo en órbita. Si consideramos un marco que está corrotando con el cuerpo, entonces en este marco hay una fuerza centrífuga ficticia que empuja el cuerpo hacia afuera, y asociada con esta fuerza hay un potencial$L^2/2mr^2$dónde$L$es el momento angular (constante). Sumando esto al potencial gravitacional$U(r)$da un potencial efectivo:

$$V_\text{eff} = \frac{L^2}{2mr^2} + U(r)$$

si tomamos$U(r) = -k/r$entonces obtenemos un potencial efectivo que se parece a:

Si se trata de una órbita limitada, este potencial siempre tiene un mínimo. Esto existe porque si el objeto en órbita se acerca a la masa central, el positivo$r^{-2}$término domina y lo empuja hacia fuera de nuevo, mientras que si el objeto se mueve a grandes$r$lo negativo$r^{-1}$término lo atrae de nuevo. Efectivamente la partícula oscila alrededor del mínimo del potencial efectivo por lo que su órbita es siempre estable.

El problema es que con diferentes potenciales gravitatorios no obtenemos este mínimo estable. por ejemplo si$U(r) = -kr^{-2}$el potencial efectivo es solo$\pm Ar^{-2}$por alguna constante$A$. Con el signo más, el potencial siempre empuja al objeto en órbita hacia afuera hasta el infinito y con el signo menos, el potencial lo empuja hacia adentro para chocar contra el cuerpo central.

Mover a$U(r) = -kr^{-3}$, o cualquier$-kr^{-n}$por$n \ge 3$, y ahora solo obtenemos un máximo como:

Entonces, nuevamente, cualquier perturbación envía el objeto en órbita hacia el infinito o hacia adentro para chocar contra el objeto.

La característica especial de la$-kr^{-1}$potencial es que cae más lentamente con la distancia que el$r^{-2}$potencial debido a la fuerza ficticia. Es por eso que solo da una órbita estable. Si permite potencias no integrales, cualquier$n \lt 2$también da una órbita estable, aunque normalmente consideramos solo valores integrales de$n$.