¿Por qué la regularización Zeta no es válida para bucles múltiples?

El uso estándar de la regularización zeta en la teoría cuántica de campos es reemplazar el determinante funcional de bucle único mal definido con algo finito:

$$\begin{align} \det(H) &= \exp(\mathrm{tr}\log H) := \exp(-\zeta'_H(0))\,, \\ \zeta_H(s) &= \mathrm{tr} H^{-s} = \frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty\mathrm{d}t\, t^{s-1}\mathrm{tr}(\exp(-H t)) \end{align}$$

Esta es una generalización de la función zeta de Riemann$\zeta(s)=\zeta(s,q)$y función zeta de Hurwitz $\zeta(s,q)=\sum_{n=1}^\infty (q+n)^{-s}$desde

$$\zeta_H(s) = \mathrm{tr} H^{-s} = \sum_{n} \lambda_n^{-s}\,.$$ Por ejemplo, para el oscilador armónico, $\lambda_n=n+\frac12$entonces $\zeta_H(s)=\zeta(s,\frac12)$.

Obviamente, esto solo funciona en un bucle porque las correcciones cuánticas solo parecen un determinante funcional en un bucle.

Pero las ideas relacionadas se pueden extender a múltiples bucles. (¿Cómo se compara lo siguiente con su esquema? Es difícil decir exactamente lo que está diciendo en su trabajo ...)

En su pregunta anterior, mencioné la regularización del operador (por ejemplo, PhysRevD.35.3854 ) como una extensión de la regularización zeta. Aquí, el determinante funcional se escribe usando

$$\begin{align} \det(H) &= \exp(\mathrm{tr}\log H) \\ \log H &:= \lim_{s\to0}\Big[-\frac{d^m}{d s^m}\Big[\frac{s^{m-1}}{m!}H^{-s}\Big]\Big]\,, \end{align}$$ para algunos lo suficientemente grandes (solo en realidad necesitan $m=1$) entero $m$. Con $m=1$y escribiendo $H^{-s}=\frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty \mathrm{d}t\, t^{s-1}\exp(-H t)$recuperas la forma regularizada zeta dada arriba.

Del mismo modo, también puede regularizar los propagadores.$H^{-1}$como

$$H^{-1} = \frac{d}{d H}\log H := \lim_{s\to0}\Big[\frac{d^m}{d s^m}\Big[\frac{s^{m}}{m!}H^{-s-1}\Big]\Big]\,.$$ Estos son los fundamentos subyacentes de la regularización de operadores.

En arXiv:1006.1806 , esto se generalizó a

$$H^{-n} := \lim_{s\to0}\Big[\frac{d^m}{d s^m}\Big[ \big(1+\alpha_1s+\dots+\alpha_ms^m\big)\frac{s^{m}}{m!}H^{-s-n}\Big]\Big]\,.$$ donde el $\alpha_i$son inicialmente constantes finitas arbitrarias y $m$es el orden del bucle (o superior). Se hicieron comparaciones con algunas integrales de Feynman regularizadas dimensionalmente y se encontró que para una elección de $\alpha_i$coincidieron. Estas constantes se fijan según el esquema de renormalización que se utilice. No estoy seguro de si existe un esquema de "resta mínima" para la regularización del operador (¡a menos que haga una comparación con la regularización dimensional para cada diagrama!) o si se debe usar un esquema de renormalización física/en el shell para garantizar resultados consistentes.

Un papel mucho más sólido es la regularización de operadores y las funciones de Green de bucles múltiples . Allí definen el operador de resta (sin el$\alpha_i$constantes)

$$\mathcal S^{(m)}\big(\prod_i A_i^{-1}\big) = \lim_{s\to0}\frac{d^m}{d s^m}\Big[\frac{s^{m}}{m!}\Big(\prod_i A_i^{-s-1}\Big)\Big]$$ y mostrar que su aplicación ingenua para obtener amplitudes finitas rompe la unitaridad. (Los resultados de arXiv:1006.1806 sugieren que si incluye el $\alpha_i$'s y los elige correctamente, debería poder obtener resultados correctos ...) Luego, en realidad usan la fórmula de recursión de Bogolibov para mostrar cómo construir un $\mathcal R$-operador de $\mathcal S$.

Se proporcionan cálculos detallados tanto para el uso ingenuo como para el sofisticado de la regularización de operadores en operaciones masivas.$\phi^4_4$teoría.

Tenga en cuenta que el uso de un esquema similar a BPHZ esencialmente reintroduce contratérminos (ocultos en las restas en cada diagrama) al método y definitivamente rompe la simplicidad del original$\zeta$-regularización.