Este potencial vectorial da un campo monopolar magnético, ¿qué tiene de malo?

Sí, tienes problemas con este potencial debido a la singularidad. Tenga en cuenta que desea la singularidad en$r=0$, ya que está hablando de una carga puntual (y el potencial eléctrico es singular en la posición de una partícula).

También hay otro problema enorme: sabes que$\vec\nabla\cdot(\vec\nabla\times\vec A)=0$, mientras tomas el gradiente de un rizo. Por este hecho, no puedes tener carga magnética: recuerda que, para una carga puntual en el origen,$\vec \nabla\cdot \vec E=q\delta^3(\vec x)$. Eso$\delta^3$factor es lo que nos permite decir que, en cualquier conjunto que contenga el origen, tenemos una carga total$q$. Esto no funciona con el campo magnético, cuando integramos de manera ingenua.

Esos dos problemas son solucionables mediante la introducción del concepto de haces de fibras. Trataré de no usarlos, pero sepa para futuras referencias que la teoría de calibre moderna se formula en torno al concepto de haces de fibras, que le permiten describir cosas como monopolos magnéticos de manera correcta.

Me referiré a los solitones topológicos de Manton y Sutcliffe al responder. En el capítulo 8, analizan los monopolos magnéticos.

Examinemos tu potencial. Supongo que tu coordenada azimutal$\theta$viene de$0$a$\pi$, como debe ser el caso para que su potencial funcione. Puedes elegir entre dos potenciales:

$$\vec A_+=\frac{g}{4\pi r}\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}\hat \phi,\quad\vec A_-=\frac{g}{4\pi r}\frac{-1-\cos\theta}{\sin\theta}\hat \phi.$$ Puede verificar que ambos potenciales tienen $\vec B$como rizo, siempre que $r\neq 0$, $\theta\neq 0$y $\theta\neq\pi$. El adicional $4\pi$factor es sólo una redefinición de $g$, que es conveniente ya que hace que el flujo del campo magnético sea igual a la carga magnética, sin constante de proporcionalidad. ¿Qué potencial usaremos? La respuesta es "ambos". Observe que el primer potencial no es singular en $\theta=0$(polo norte, para definición), mientras que el segundo no es singular en $\theta=\pi$(realice el límite: existe y es 0, por lo que puede extender la definición de forma continua).

Digamos que quieres encontrar el campo magnético a una distancia dada del monopolo,$R$. En lenguaje moderno, está buscando el campo magnético en una esfera de 2 radios$R$, que voy a llamar$S^2_R$, bajo la condición de contorno de que el flujo de este campo magnético en todo el$S^2_R$El límite de debe ser igual a la carga magnética:

$$\int_{S^2_R}\vec B\cdot d\vec S=g,$$ dónde $\vec S$es el vector que apunta hacia afuera de la esfera.

El hecho clave es que la esfera$S^2_R$no puede ser descrito por un simple conjunto de coordenadas$(\theta,\phi)$, sin excluir uno de los polos. En lenguaje de geometría diferencial, tienes que$S^2_R$no es una variedad trivial y se necesitan al menos dos sistemas de coordenadas para cubrir toda la esfera. Dejar$\theta_N$y$\theta_S$ser ángulos tales como$0<\theta_S<\theta_N<\pi$: puedes usar un sistema de coordenadas$(\theta_+,\phi_+)$dónde$0\leq\theta_+<\theta_N$y otro sistema de coordenadas$(\theta_-,\phi_-)$, dónde$\theta_S<\theta_-\leq\pi$. Ahora, debido al hecho de que$\theta_S<\theta_N$, tiene que esos dos sistemas de coordenadas cubren toda la esfera, en el sentido de que cualquier punto está descrito por al menos uno de esos conjuntos de coordenadas. Cuando está descrita por ambos conjuntos (como es el caso de todos los puntos de la tira$\theta_S<\theta<\theta_N$debe tener una función de transición, que asocie una coordenada en un conjunto a una coordenada en otro (en este caso, solo tiene que tomar la misma$\theta$, pero son posibles elecciones más complicadas).

Una teoría de calibre sobre la esfera es (EN VERDAD, HABLANDO LIGERAMENTE) una asignación de un campo de calibre$\vec A$en cualquier parche de la esfera. Ahora, podemos decir que$\vec A_+$describe el potencial en el$(\theta_+,\phi_+)$sistema, por lo que se extiende hasta el polo norte (donde no es singular). Asignamos el potencial$\vec A_-$al polo sur (donde no es singular). Ahora, ¿qué podemos decir sobre la cadena superpuesta? Puedes comprobar que, en la tira

$$\vec A_-=\vec A_+-\vec\nabla\left(\frac{g}{2\pi}\phi\right).$$ no necesito especificar $\phi_1$o $\phi_2$, ya que el mapa de transición es la identidad. ¡Esto es exactamente una transformación de calibre! Debido al hecho de que los campos están relacionados por una transformación de calibre, se puede decir que describen el mismo campo físico.

¿Cómo resuelve esta construcción el problema de la carga magnética? O, ¿la condición de flujo está funcionando aquí? Una explicación rigurosa (y rápida) requeriría nociones de integración en geometría diferencial, así que optaré por una respuesta intuitiva. Si lo tomas$\theta_N$y$\theta_S$como el ecuador$\theta=\frac\pi2$está en la región superpuesta, puede dividir la integral como

$$\int_{S^2_R}\vec B\cdot d\vec S=\int_{NP}\vec\nabla\times\vec A_+\cdot d\vec S+\int_{SP}\vec\nabla\times\vec A_-\cdot d\vec S.$$ Aquí, $NP$medio $\theta<\frac{\pi}{2}$y $SP$medio $\theta>\frac{\pi}{2}$. Observe que el ecuador no pertenece a $NP$o $SP$, pero es una línea y las integrales de funciones bien definidas sobre esa línea son $0$. El ecuador es un límite tanto para el polo norte como para el polo sur, por lo que podemos usar el teorema de Stokes: entonces es inmediato convencerse de que la integral anterior es igual a dos integrales de línea en el ecuador, una vez en el sentido de las agujas del reloj y la otra en el sentido contrario a las agujas del reloj: $$\int_{S^2_R}\vec B\cdot d\vec S=\int_{equator}\vec A_{1}\cdot d\vec l-\int_{equator} \vec A_2\cdot d\vec l=2\pi R\left(\frac{g}{4\pi R}+\frac{g}{4\pi R}\right)=g.$$ Tenga en cuenta que esta no es la forma correcta de proceder. Tómalo solo por intuición.

Para concluir, los monopolos magnéticos son teóricamente posibles y se puede escribir un potencial para un monopolo magnético. Pero debe usar las nociones de los gráficos de coordenadas para definir el potencial sin ambigüedad y obtener un análogo de la ley de Gauss para el magnetismo. Tu potencial es parte de la solución. Si realmente está interesado en las teorías de calibre, tendrá que aprender mucha geometría diferencial y lo básico de los haces de fibras para poder hacer las cosas más divertidas con los campos de calibre.