El campo magnético de un monopolo magnético.

Para cada$r>0$, la divergencia del campo magnético del monopolo es cero como ya has comprobado;

$$\begin{align} \nabla\cdot\mathbf B(\mathbf x) = 0, \qquad \text{for all $\mathbf x\neq \mathbf 0$}. \end{align}$$

Pero, ¿y si también queremos encontrar la divergencia de este campo en el origen? Después de todo, ahí es donde se encuentra la fuente puntual. Podríamos esperar que haya algún sentido en el que la divergencia allí debería ser distinta de cero para reflejar el hecho de que hay una fuente puntual allí. El problema es que el campo magnético es singular allí y, por lo tanto, la divergencia estándar no está definida allí.

Sin embargo, en electrodinámica, solucionamos esto interpretando los campos no simplemente como funciones$\mathbf E,\mathbf B:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$, a saber, campos vectoriales ordinarios en tres dimensiones, pero como distribuciones (también conocidas como funciones generalizadas). Resulta que, cuando hacemos esto, hay un sentido en el que el campo magnético que anotaste tiene una divergencia distinta de cero en el origen (de hecho, la divergencia es "infinita" allí). Te dejaré a ti investigar los detalles, pero el remate es que necesitas algo llamado derivada distribucional para realizar el cálculo de manera rigurosa. Los físicos a menudo realizan la derivada distributiva del campo monopolar "regulando" la singularidad en el origen, pero esto no es necesario. Cualquiera que sea el método que utilice, el resultado que está buscando es

$$\begin{align} \nabla\cdot\frac{\mathbf x}{|\mathbf x|^3} = 4\pi\delta^{(3)}(\mathbf x) \end{align}$$ dónde $\delta^{(3)}$denota la distribución delta en tres dimensiones euclidianas. Aplicando esto al campo del monopolo magnético, vemos que su divergencia corresponde a una densidad de carga magnética que se parece a la distribución delta; este es precisamente el comportamiento esperado de un monopolo.

Apéndice. Dado que el usuario PhysiXxx ha publicado el procedimiento para probar la identidad que afirmo anteriormente utilizando el procedimiento de regularización al que me referí, supongo que también podría mostrar cómo prueba la identidad cuando se interpreta en el sentido de distribuciones.

Una distribución es un funcional lineal que actúa sobre las llamadas funciones de prueba y genera números reales. Para ver una función suficientemente bien comportada$f:\mathbb R^3\to\mathbb R$como distribución, necesitamos asociar una función lineal$T_f$lo. La forma estándar de hacer esto es definir

$$\begin{align} T_f[\phi] = \int _{\mathbb R^3} d^3x\, f(\mathbf x) \phi(\mathbf x). \end{align}$$ La distribución delta centrada en un punto $\mathbf a\in\mathbb R^3$no puede describirse como una distribución asociada a una función $f$de esta manera, en cambio, se define como $$\begin{align} \delta_{\mathbf a}^{(3)}[\phi] = \phi(\mathbf a) \end{align}$$ Los físicos a menudo escribirán esto como $$\begin{align} \delta_{\mathbf a}^{(3)}[\phi] = \int_{\mathbb R^3}d^3 x\, \delta^{(3)}(\mathbf x - \mathbf a)\phi(\mathbf x) \end{align}$$ como si hubiera una función que genera la distribución delta, aunque no la haya, porque facilita las manipulaciones formales . Ahora, considere la función $$\begin{align} h(\mathbf x) = \nabla\cdot\frac{\mathbf x}{|\mathbf x|^2} \end{align}$$ Afirmo que si usamos la expresión $T_h$con el que asociar una distribución $h$, entonces, $T_h = -4\pi \delta_{\mathbf 0}$. Para probar esto, basta demostrar que $T_h[\phi] = -4\pi\phi(\mathbf 0)$para todas las funciones de prueba $\phi$. Para ello, señalamos que $$\begin{align} T_h[\phi] &= \int_{\mathbb R^3} d^3 x\, \left(\nabla\cdot\frac{\mathbf x}{|\mathbf x|^3}\right) \phi(\mathbf x) \\ &= \int_{\mathbb R^3} d^3 x\, \nabla\cdot\left(\frac{\mathbf x}{|\mathbf x|^3} \phi(\mathbf x)\right) - \int_{\mathbb R^3} d^3 x\, \frac{\mathbf x}{|\mathbf x|^3}\cdot \nabla\phi(\mathbf x) \end{align}$$ La primera integral se desvanece porque, según el teorema de Stoke (también conocido como el teorema de la divergencia en 3D), es un término límite, pero en este caso, el límite está en el infinito, y se supone que la cosa de la que estamos tomando la divergencia se desvanece rápidamente. en el infinito (esto es parte de la definición de funciones de prueba). Para la segunda integral, usamos coordenadas esféricas. En coordenadas esféricas, podemos escribir $$\begin{align} d^3 x = r^2\sin\theta dr\,d\theta\,d\phi, \qquad \frac{\mathbf x}{|\mathbf x|^3} = \frac{\hat{\mathbf r}}{r^2}, \qquad (\nabla\phi)_r = \ \frac{\partial\phi}{\partial r} \end{align}$$ Combinando estas observaciones con algunas simplificaciones algebraicas se obtiene el resultado deseado: $$\begin{align} T_h[\phi] &= - \int_0^{2\pi}d\phi\int_0^\pi d\theta\int_0^\infty dr \frac{\partial\phi}{\partial r}(r,\theta,\phi) = -4\pi \phi(\mathbf 0) \end{align}$$

En el último paso usamos el teorema fundamental del cálculo, el hecho de que$\phi$se desvanece como$r\to\infty$y el hecho de que cuando$r\to 0$, el valor medio de una función sobre la esfera de radio$r$se convierte en su valor en el origen, a saber

$$\begin{align} \lim_{r\to 0} \frac{1}{4\pi}\int_0^{2\phi}d\theta\int_0^\pi d\phi\, \phi(r,\theta, \phi) = \phi(\mathbf 0) \end{align}$$

La respuesta de joshpysics es buena. Solo quiero contarte algunos detalles.

tengamos campo

$$\mathbf A = g\frac{\mathbf r}{|\mathbf r|^{3}}. \qquad (.1)$$ Tiene singularidad en cero. Podemos eliminarlo por modificación. $(.1)$por
$$\mathbf A = g\frac{\mathbf r}{|\mathbf r|^{3}} \to g\frac{\mathbf r}{(r^{2} + a^{2})^{\frac{3}{2}}}.$$ Entonces podemos derivar en cada punto de un campo. Después de tomar la derivada podemos establecer $a$a cero. Por ejemplo, $$(\nabla \cdot \mathbf A ) = \frac{3g}{(r^{2} + a^{2})^{\frac{3}{2}}} - \frac{3gr^{2}}{(r^{2} + a^{2})^{\frac{5}{2}}} = \frac{3ga^{2}}{(r^{2} + a^{2})^{\frac{5}{2}}} = 4 \pi g \delta_{a}(\mathbf r) = 4 \pi \rho_{a}(\mathbf r),$$ dónde $$\delta_{a}(\mathbf r) = \frac{3}{4 \pi}\frac{a^{2}}{\left( r^{2} + a^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}$$ tienen las propiedades del delta de Dirac: cuando $a$se pone a cero, $$\lim_{r \to 0}\delta_{a}(\mathbf r ) = \infty, \quad \lim_{r \to r_{0} \neq 0}\delta_{a}(\mathbf r ) = 0,$$ y $$\int \limits_{-\infty}^{\infty}\delta_{a}(\mathbf r)d^{3}\mathbf r = 1,$$ que es fácil de verificar.

Este procedimiento se llama regularización. Es conveniente para describir el campo de carga puntual.

Otro hecho interesante. Podemos derivar ecuaciones de Maxwell usando solo la ley de Coulomb, el principio de superposición y la relatividad especial (que se puede formular usando algunos postulados simples (postulados de espacio-tiempo homogéneo, espacio isotrópico, principio de relatividad y principio de causalidad)).

El enfoque de distribución muy bien descrito por joshphysics y PhysiXxx responde completamente a su pregunta y muestra por qué su prueba no funciona, pero hay otra forma de razonar con la parte correcta de su prueba. Es, por supuesto, matemáticamente equivalente en última instancia. Simplemente calcule el flujo a través de una capa esférica$\mathcal{S}$centrado en el origen; de la simetría del problema obtenemos:

$$\oint_\mathcal{S} \mathbf{B} \cdot \hat{\mathbf{r}} \, \mathrm{d} S = 4\,\pi\,R^2\,g\frac{R}{R^3}= 4\,\pi\,g$$

Esta es la carga magnética dentro de una capa de radio$R$. Ahora, su prueba, como se indicó en otra parte, falla en el origen, pero funciona en todas partes . Así que esto te dice, por el teorema de la divergencia, que no hay carga dentro de ninguna superficie orientable arbitrariamente cerrada que no contenga el origen y también por el teorema de la divergencia, el resultado anterior se cumple para cualquier superficie de la misma clase de homotopía (con respecto a$\mathbb{R}^3 \sim {0}$es decir, 3-espacio euclidiano sin el origen) como la capa esférica: dicho de otro modo: cualquier superficie que se pueda obtener como una deformación continua de la esfera$\mathcal{S}$que no pasa ninguna parte de la superficie por el origen. Entonces, por lo tanto, la carga debe estar completamente contenida dentro de cualquier capa esférica de radio$\epsilon > 0$, por pequeño que sea$\epsilon$puede ser En palabras cotidianas, la carga está totalmente concentrada en el origen.