¿Se puede escribir el potencial vectorial como A=∇χA=∇χ\mathbf A = \nabla \chi para alguna función singular χχ\chi?

El vector potencial correspondiente es$\vec A=\frac{1}{2}c\,{\rm sgn}(y)\,\hat x$, porque${\rm sgn}(y)=2H(y)-1$y por lo tanto$\frac{d}{dy}{\rm sgn}(y)=2\delta(y)$. Considere el teorema de descomposición de Helmholz para algún campo vectorial$\vec F(\vec r)$:

$$\vec F(\vec r)=\vec\nabla\left[-\frac{1}{4\pi}\int dV' \frac{(\vec\nabla\cdot\vec F)(\vec r')}{|\vec r-\vec r'|}\right]+\vec\nabla\times\left[\frac{1}{4\pi}\int dV' \frac{(\vec\nabla\times\vec F)(\vec r')}{|\vec r-\vec r'|}\right].$$ Ahora la divergencia de$\vec A$es$0$. Entonces obtenemos que solo se puede escribir como una rotación. Aunque por este argumento una función constante$\vec F(\vec r)=c\,\hat x$tampoco podría describirse como un gradiente, lo cual no es cierto:$\vec F(\vec r)=\vec\nabla c\, x$. Tal vez el teorema de Helmholz no pueda ayudar aquí después de todo, ya que solo muestra que$\vec A$se puede escribir como una rotación, aunque no muestra que no se puede escribir como un degradado.