Estoy haciendo mi primer semestre de Mecánica Cuántica y estamos usando Introducción a la Mecánica Cuántica de Griffith. Mientras presenta el potencial de la función delta de Dirac, explica los estados ligados y de dispersión, y entiendo que un sistema se considera ligado si la energía del sistema es menor que el potencial en el infinito, es decir
Eso tiene sentido, y luego continúa diciendo que esto implica que para estados ligados y para los estados de dispersión, ya que siempre puede agregar una constante a la energía potencial para hacerla cero en el infinito.
También explica cómo la solución de la ecuación de Schrödinger para los estados ligados es una combinación lineal discreta, y la solución para los estados de dispersión es una integral que no se puede normalizar y, por lo tanto, no existe. Luego continúa con el potencial de la función delta de Dirac sin disminuir.
El problema que tengo es cómo reconciliar esto con el capítulo anterior, en el que trató el oscilador armónico, un sistema ligado, y encontró que los niveles de energía son
que es positivo aunque el potencial tiende a infinito en el infinito. Supongo que podrías "restar infinito" y obtener una energía infinitamente negativa (y 0 potencial en el infinito), pero eso es un poco extraño en el mejor de los casos. Parte 1 de la pregunta: ¿Eso es todo? "Restar infinito" y luego la segunda desigualdad ( ) ¿obras?
Parte 2 de la pregunta: dado que los potenciales infinitos son solo aproximaciones y en realidad no existen (¿o sí?), ¿cómo pueden existir estados ligados (Griffith comenta que los potenciales finitos pueden superarse mediante la tunelización)? Además, los estados de dispersión tampoco existen ya que sus funciones de onda no son normalizables. Así que la conclusión es que nada existe realmente según la Mecánica Cuántica... lo cual no puede ser correcto, ¿no?
La distinción que se debe hacer aquí es que, para el sistema del oscilador armónico cuántico, no hay estados no ligados , solo estados ligados, por lo tanto, no hay ningún beneficio en insistir en que los estados tienen energía negativa, no hay razón para 'restar infinito' para cero el potencial en el infinito.
Sin embargo, en sistemas que permiten estados tanto ligados como no ligados, es razonable poner a cero el potencial en el infinito por la misma razón que lo hacemos clásicamente.
Por ejemplo, en el problema clásico de la fuerza central, hay un estado en el que la partícula puede 'escapar al infinito' donde tendrá energía cinética cero (más precisamente, la energía cinética de la partícula se aproxima asintóticamente a cero). Si establecemos que la energía potencial sea cero en el infinito, entonces la energía total 'en el infinito' es cero. Por lo tanto, la partícula con energía total cero 'se asienta en el límite' entre aquellas partículas que no tienen suficiente energía para 'alcanzar' el infinito y aquellas que sí lo hacen.
Pero, para el potencial del oscilador armónico clásico, ninguna partícula puede escapar al infinito. La energía cinética de la partícula será periódica e instantáneamente cero. En este caso, es razonable que el estado donde la energía total sea siempre igual a la energía potencial (el estado donde la energía cinética siempre sea cero) sea el estado de energía total cero; todos los demás estados tienen energía total positiva.
Así que la conclusión es que nada existe realmente según la Mecánica Cuántica... lo cual no puede ser correcto, ¿no?
Esa no es ni remotamente la conclusión correcta a sacar. Se podría concluir en cambio que
(1) La concepción de estado ligado debe modificarse en el paso de la mecánica clásica a la mecánica cuántica y
(2) los estados físicos no ligados (normalizables) no son estados propios del hamiltoniano, es decir, los estados físicos no ligados no son estados de energía definida sino que son, en cambio, una distribución de estados propios de energía, por ejemplo, un paquete de ondas.
Parte 1. Esencialmente tienes razón. Puedes pensar en ello como restar infinito de la energía. Una mejor manera de verlo es que la convención de que el cero de la energía debería corresponder al potencial en el infinito siempre fue una elección arbitraria. Normalmente es una convención muy sensata, pero si el potencial diverge en el infinito, como es el caso del oscilador armónico, claramente otra opción sería mejor. En la práctica, normalmente usamos osciladores armónicos como aproximaciones a potenciales más complejos que no divergen y esto a menudo funciona bastante bien ya que de todos modos requerimos que la función de onda llegue a cero en el infinito.
Parte 2 Los estados ligados se definen como aquellos estados con una energía más baja que una partícula libre en un potencial dado. Una partícula no puede pasar de un estado ligado a un estado continuo sin un aporte de energía. Si tengo un átomo de hidrógeno aislado, el electrón no puede escapar espontáneamente del protón porque esto aumentaría su energía.
El túnel cuántico ocurre cuando hay dos áreas de bajo potencial separadas por un área de alto potencial, donde la partícula tendría prohibida la entrada clásicamente. Esto puede ser un par de pozos potenciales o dos áreas de espacio libre separadas por una barrera potencial (que es a lo que Griffith se refería). Entonces, por ejemplo, si tengo mi átomo de hidrógeno y acerco otro protón, el electrón puede hacer un túnel desde uno. protón al otro, a pesar de que no podía convertirse en una partícula libre y, por lo tanto, clásicamente no podía salir del átomo al que comenzó unido. Generalmente lo que ocurre en estas situaciones con múltiples pozos de potencial es que en los estados estacionarios la partícula se encuentra en una superposición de estar en ambos pozos. Esto es lo que sucede cuando se forma un enlace covalente.
Jéssica Hansen