Estados básicos para el sistema de muchas partículas

Considere un$N$-espacio vectorial dimensional$V$y deja$\{\chi_1, \cdots, \chi_N\}$ser la base de$V$.

A continuación, centre la atención en el espacio antisimétrico.$(V\otimes\cdots \otimes V)_A$dónde$V$ocurre$M\leq N$veces.

una base de$(V\otimes\cdots \otimes V)_A$se puede construir a partir de$\{\chi_1, \cdots, \chi_N\}$haciendo uso del proyector

$$A: V\otimes\cdots \otimes V \to (V\otimes\cdots \otimes V)_A$$ definida como la extensión lineal única de $$A (v_1\otimes \cdots \otimes v_M) := \frac{1}{\sqrt{M!}}\sum_{\sigma \in P_M} \mbox{sgn}(\sigma)\: v_{\sigma^{-1}(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma^{-1}(M)}\:.$$ Arriba $P_M$es el grupo simétrico de$M$elementos _

Dicha base de$(V\otimes\cdots \otimes V)_A$($M$tiempos) está hecho de los elementos para$i_1,\ldots, i_M \in \{1,\ldots,N\}$

$$\chi_{i_1}\wedge \cdots \wedge \chi_{i_M} := A(\chi_{i_1}\otimes \cdots \otimes \chi_{i_M})\mbox{ where} \quad i_1 < i_2< \ldots < i_M\:.$$ En vista de la última constarint, estos elementos son ${N \choose M}$entonces $1$para $N=M$. Si en cambio la restricción $i_1 < i_2< \ldots < i_M$se deja caer $\chi_{i_1}\wedge \cdots \wedge \chi_{i_M}$resulta ser el vector cero o un vector ya contado hasta el signo.

Darse cuenta de$A (v_1\otimes \cdots \otimes v_M)$no es más que el determinante de Slater de la$M$elementos$v_k$.

Si$V=H$es un ($N$-dimensional) espacio de Hilbert y$V\otimes\cdots \otimes V$está equipado con la estructura inducida análoga,$(V\otimes\cdots \otimes V)_A$resulta ser un subespacio cerrado,$A$un proyector ortogonal y, partiendo de una base ortonormal$\{\chi_1, \cdots, \chi_N\}$de$H$, los elementos$\chi_{i_1}\wedge \cdots \wedge \chi_{i_M}$formar una base ortonormal$(H\otimes\cdots \otimes H)_A$también. El resultado se extiende fácilmente al caso de un espacio de Hilbert de dimensión infinita.