Estado ontológico del axioma de elección

La forma en que uno responde a tales preguntas obviamente depende de los puntos de vista filosóficos de uno.

Un realista en valor de verdad como Quine o Putnam argumentará que AC tiene un valor de verdad objetivo independiente del lenguaje, la mente o el matemático que reflexiona sobre la pregunta.

Por otro lado, un no realista en valor de verdad argumentará que AC es independiente de la teoría de conjuntos y, por lo tanto, no tiene valor de verdad objetivo.

De manera más general, la visión de los axiomas como verdades evidentes por sí mismas no goza del favor de los matemáticos de hoy. Las matemáticas contemporáneas ahora ven los axiomas como "condiciones definitorias" para una teoría. Por ejemplo, un teórico de conjuntos moderno está feliz de estudiar ZF (teoría de conjuntos) con AC y ZF con ¬AC. Obviamente, uno no puede ver tanto AC como ¬AC como verdades evidentes.

Un enfoque para dar sentido a la distinción entre verdad necesaria y contingente es considerar una teoría $T$ y un modelo $M$ de esa teoría. Los teoremas de $T$ son las verdades necesarias en $T$. Los enunciados que se mantienen en $M$ pero no son teorías de $T$ son las verdades contingentes.

Si seguimos este enfoque, entonces la cuestión de si AC (si es verdadera) es una verdad necesaria o contingente depende esencialmente de la cuestión de cuál es nuestra teoría fundamental elegida. Podríamos considerar todos los modelos de ZF como mundos matemáticos potenciales, y simplemente explorar uno donde AC es verdadero en este momento. Pero también podríamos comenzar con ZFC como teoría y, por lo tanto, considerar que AC es necesario.

En última instancia, creo que esta pregunta realmente no nos lleva a ninguna parte.

El axioma de elección tiene mala reputación porque conduce a contradicciones con conjuntos incontables. Pero es un axioma muy natural y se aplica con frecuencia sin previo aviso en matemáticas como bien ha señalado Zermelo al defender su invento frente a las objeciones de Borel, Peano, Poincaré y otros. [MI. Zermelo: "Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung", Math. Ana. 65 (1908) págs. 107-128]

El problema es solo, como se mencionó anteriormente, la aplicación del axioma a conjuntos incontables. En la historia de las matemáticas, era habitual fijar convenciones fácticas mediante un axioma, como "es posible trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto" o "si n es un número natural, entonces n+1 es un número natural". número". La aplicación del axioma de elección reclama por primera vez una convención contrafáctica, a saber, elegir un elemento sin saber qué se elige.

Al menos en 1904, estaba claro que solo hay muchas cadenas finitas de letras contables, incluidas cadenas que definen objetos matemáticos. Cantor conocía este teorema, como escribió en una carta a Hilbert en 1906, aunque no creía que fuera cierto. "Si el teorema de König fuera cierto, según el cual todos los números reales 'finitamente definibles' forman un conjunto de cardinalidad aleph_0, esto implicaría que todo el continuo es contable, y eso es ciertamente falso". [GRAMO. Cantor, carta a D. Hilbert (8 de agosto de 1906)]

Hoy no hay duda de que el teorema de König es cierto. Para mantener la teoría de conjuntos transfinitos, es necesario tener el axioma de elección contrafactual (en este ámbito) para demostrar el teorema básico de la teoría de conjuntos: cada conjunto puede estar bien ordenado. De lo contrario, gran parte de la teoría ordinal sería indemostrable. Por lo tanto, los teóricos de conjuntos han acordado que el axioma "no es constructivo", es decir, podemos demostrar que podemos elegir todos los elementos, pero no podemos elegir todos los elementos. Aunque Zermelo utilizó el axioma para probar que todo conjunto puede estar bien ordenado , es decir, pensó que se podía hacer y no sólo probar que se podía hacer, sabiendo que en realidad no se podía hacer. [MI. Zermelo: "Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann", Matemáticas. Ana. 59 (1904)]

Pero, ¿cuál es el valor de un axioma contrafáctico? Podríamos enunciar muchos otros axiomas del mismo valor como:

• Axioma de los tres puntos de una recta: Todo triple de puntos pertenece a una recta. (Pero en la mayoría de los casos probablemente no se puede dar ninguna construcción geométrica.)

• Axioma de los diez primos pares: Hay 10 números primos pares. (Pero es probable que no se disponga de ningún método aritmético para encontrarlos).

• Axioma de las ternas de números primos: Existe una segunda terna de números primos, además de (3, 5, 7). (Pero probablemente este segundo triple no es definible aritméticamente).

• Axioma de suma escasa: Existe un conjunto de n números naturales positivos diferentes con suma n*n/2. (Este axioma no es constructivo. Es probable que no se pueda construir tal conjunto).

Todas las teorías basadas en tales axiomas tendrían el mismo valor que la teoría de conjuntos transfinitos, es decir, ninguna.

Teniendo esto en cuenta e ignorando los intentos absurdos de aplicar alfabetos incontables o definiciones infinitas para definir innumerables elementos, podemos estar seguros de que el axioma de elección es cierto en todos los mundos con matemáticas correctas y, por lo tanto, sin conjuntos incontables.