Estado mixto después de la medición

Esta es solo la teoría clásica de la probabilidad, tenga en cuenta en particular el teorema

$p(m)*p(i|m) = p(i)*p(m|i)\;\;[=p(i\text{ and } m)]$.

Repetir el experimento una enorme cantidad de veces.$N$. De estas repeticiones,$N*p(i)$son el estado$|x_i\rangle$. Fuera de estos,$N*p(i)*p(m|i) = N*p(m)*p(i|m)$resultado en el resultado de la medición$m$. Así que fuera del conjunto de$N*p(m)$mediciones que tienen resultado$m$, Una fracción$p(i|m)$comenzó en el estado$|x_i\rangle$.

El estado posterior a la medición se calcula de la forma habitual: si mide un observable con descomposición espectral$X = \sum_x x \ P_x$,$P$siendo los proyectores, el estado posterior a la medición si el resultado es$x$es simple

$\rho_x = \ P_x \ \rho \ P_x$

(hasta la normalización)

Para derivar esto de manera clara del postulado original sobre los estados puros, puede considerar una purificación para$\rho$, eso es un vector$|\psi \rangle$mayor espacio de Hilbert$A \otimes B$tal que

$\rho = \rm{Tr}_B [|\psi \rangle \langle \psi|]$

$\rm{Tr}_B$es la traza parcial sobre$B$, una operación que produce un operador en$A$. Ahora, si mides$X \otimes \rm{id}$en este espacio más grande, y obtener el resultado$x$, el estado posterior a la medición es

$|\psi_x \rangle = P_x \otimes \rm{id} \ \ |\psi \rangle \langle \psi|\ \ P_x \otimes \rm{id}$

Es posible (y fácil) demostrar que$\rho_x = \rm{Tr}_B[|\psi_x \rangle \langle \psi_x|$, como quería. Para más detalles te sugiero este documento http://arxiv.org/abs/1110.6815 .