Estado cuántico desconocido con promesa de datos clásicos

Estoy tratando de resolver un problema en la medición e identificación de estados cuánticos con la promesa de qué estados podrían ser. Aquí está el problema. Imagine un sistema que produce qubits en uno de cuatro estados S = { a , b , C , d } , Distribuidos equitativamente. De una sola vez, puedo recibir k copias de un estado en S . Sin embargo, una unidad aleatoria, uniformemente distribuida en S tu ( 2 ) se ha aplicado, entonces, en los detectores que recibo S ′ = { H a , H b , H C , H d } . Tengo un sistema detector que incluye 2 METRO detectores y representan los operadores de proyección en cualquier par de vectores base en cualquier base (por lo tanto, podemos elegir qué METRO bases en las que queremos usar los detectores). Todo lo que quiero hacer es decidir si el estado es a , b , C , o d . ¿Cuántas copias del estado necesito (es decir, cuál es el mínimo para k )? cual es el mas pequeño METRO ?

Otra pregunta más general es esta: ¿qué debo usar para representar el estado antes de hacer una medición? ¿No debería ser una matriz de densidad que es una integral sobre todos los estados? Dado que se aplica un unitario aleatorio, eso significa que puedo recibir, en una base fija, cualquier estado con la misma probabilidad. ¿Cuál sería la regla de actualización para esta matriz de densidad después de la j t h ¿Resultado de medida?

Me doy cuenta de que faltan piezas en mi pregunta. Revisaré esta publicación esta noche, pero espero que dé una idea general.

no entiendo el problema Una vez que el estado se rota aleatoriamente, no hay forma de saber si fue a , b , C o d .
No estoy muy seguro de entender: Si H se elige aleatoriamente entonces H a no está correlacionado con a . promediando sobre H usted obtiene ρ = ∑ H pag ( H ) ( H a ) ⊗ k = ∑ H pag ( H ) ( H b ) ⊗ k = ∑ H pag ( H ) ( H C ) ⊗ k = ∑ H pag ( H ) ( H d ) ⊗ k , por lo que no importa cuántas copias tenga, no puede distinguir el estado inicial, ya que estos estados están relacionados por operadores unitarios (y acaba de aplicar un unitario aleatorio).
@PiotrMigdal: ¡Parece que estábamos escribiendo al mismo tiempo sobre lo mismo!
Supongo que debería haber prestado más atención en la clase QInformation.... :(....déjame ver si puedo hacer de esta una pregunta interesante.
¿Y si en lugar de recibir k copias de un estado, puede recibir k Copias de norte estados elegidos al azar de S . Es decir, recibes una cadena de qubits y obtienes k copias de cada qubit. Dada alguna configuración, acumulará 4 distribuciones de probabilidad diferentes porque también puede saber cuándo se ha pasado un qubit. ¿No puede entonces utilizar esta información añadida para decidir qué distribución corresponde a qué estado original? Ciertamente hay información incrustada en la promesa de 4 distribuciones diferentes y supongo que estoy tratando de exprimirla.
En ese caso, la cantidad de Holevo limita la cantidad de información que puede obtener y, por lo tanto, puede usarse para limitar la probabilidad de adivinar correctamente el estado correcto. Pero tenga cuidado, puede ser un límite extremadamente flojo.

Respuestas (1)

Creo que puede ser bastante difícil encontrar la solución más eficiente, que implicaría mediciones colectivas que involucran varias de las entradas a la vez (aunque en su pregunta parece descartar esta posibilidad al mencionar mediciones de qubits individuales a la vez). Además, se deben considerar los POVM en lugar de las medidas proyectivas.

Suponiendo que mide solo un qubit a la vez, puedo responder a su pregunta sobre cómo representarlos. El primer qubit es, como sospecha, el estado completamente mixto. Después de eso, debe usar la regla de Bayes para actualizar sus distribuciones de probabilidad para S (si no se supone que S siempre es uniformemente aleatorio) y S'. Esta no es mi experiencia, pero esta parte es un problema clásico, no un problema cuántico. Utilice estas distribuciones de probabilidad actualizadas para formar el operador de densidad del siguiente estado que reciba. Luego debe decidir qué tipo de medición es mejor dado su estado actual de conocimiento sobre las probabilidades. No puedo ayudarte allí.

Las mediciones colectivas tienden a funcionar mejor. Pero como se menciona en los comentarios, la pregunta original se refiere a distinguir estados que son indistinguibles: tienen la misma matriz de densidad reducida.
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