Estabilidad de los puntos de equilibrio

Aquí están las matemáticas. Supongamos que tienes una ecuación de la forma

$$\ddot\theta +\alpha\theta = 0$$ Si $\alpha <0$, entonces podemos escribir $\alpha = -\omega^2$para algunos $\omega >0$y la solución general se convierte en $$\theta(t) = Ae^{\omega t} + Be^{-\omega t}$$ En particular, observe que estas soluciones no son oscilatorias. De hecho, la solución explota exponencialmente en función de $t$. Considere, por ejemplo, las siguientes condiciones iniciales: $$\theta(0) = 0, \qquad \dot\theta(0) = \omega_0$$ entonces obtenemos $$A+B = 0, \qquad A-B=\frac{\omega_0}{\omega}$$ y la solución se convierte $$\theta(t) = \frac{\omega_0}{\omega}\frac{e^{\omega t} - e^{-\omega t}}{2}$$ Observe, en particular, que no importa cuán pequeña sea la velocidad inicial $\dot\theta(0) = \omega_0$es decir, la solución tiene la propiedad de que $\theta(t)$deja el barrio de $\theta(0)$para suficientemente grande $t$.

Por otro lado, si$\alpha >0$, entonces la ecuación que queremos resolver es simplemente la ecuación para el movimiento armónico simple con soluciones oscilatorias que permanecen en una vecindad de la posición inicial todo el tiempo.

Piénselo de esta manera, si la aceleración está en la dirección theta positiva cuando theta es positiva, entonces el sistema se escapará y se volverá inestable.

Si la aceleración está en la dirección opuesta al signo de theta, entonces el sistema regresará al origen y, por lo tanto, será estable.