Clasificación de las regiones de Van der Waal como gas

Dada la ecuación de estado

$$p+a\left(\frac{N}{V}\right)=\frac{Nk_BT}{V-bN} \tag 1$$ Teniendo en cuenta que un modelo realista requiere $p \geq 0, V \geq Nb, N>0$Clasificar las soluciones de la ecuación de estado en función de la temperatura.

mi intento es ese

$$\left[p+a\left(\frac{N}{V}\right)\right]\left[\frac{V-bN}{V} \right]=\frac{Nk_BT}{V}$$ Dejar $n=\frac{N}{V}$,

$$\left[p+an\right]\left[1-bn \right]=nk_BT$$

$$p+an-pbn-abn^2=nk_BT$$

Dejar$\tilde{n}=\sqrt{ab}n$,$\tilde{n}^2=abn^2$,

$$\tilde{n}^2+\left(p\sqrt{\frac{b}{a}}-\sqrt{\frac{a}{b}}\right)\tilde{n}-p+\frac{k_BT}{\sqrt{ab}}=0$$

Dejar$\tilde{p}=\sqrt{\frac{b}{a}}p$,

$$\tilde{n}^2+\left(\tilde{p}-\sqrt{\frac{a}{b}}\right)\tilde{n}-\sqrt{\frac{a}{b}}p+\frac{k_BT}{\sqrt{ab}}=0$$

Dejar$\tilde{t}=\frac{k_BT}{\sqrt{ab}}$,

$$\tilde{n}^2+\left(\tilde{p}-\sqrt{\frac{a}{b}}\right)\tilde{n}-\sqrt{\frac{a}{b}}p+\tilde{t}=0$$

Ahora el discriminante es$b^2-4ac$entonces

$$\left(\tilde{p}-\sqrt{\frac{a}{b}} \right)^2+4\sqrt{\frac{a}{b}}p-4\tilde{t}$$

$$\tilde{p}^2-2\sqrt{\frac{a}{b}}\tilde{p}+\frac{a}{b} +4\sqrt{\frac{a}{b}}p-4\tilde{t}$$

$$\left(\tilde{p}+\sqrt{\frac{a}{b}} \right)^2=4\tilde{t}$$

así que ignorando la solución de tiempo negativo que tenemos

$$\tilde{p}=-\sqrt{\frac{a}{b}} +2\sqrt{\tilde{t}}$$

pero no veo lo que estoy destinado a hacer a continuación.

Después de eso, necesito mostrar que hay una región del$T-V^{-1}$plano donde esta ecuación de estado no es termodinámicamente estable y determine el límite de esta región.

Sé que para la estabilidad necesitamos eso

$$\left(\frac{\partial p}{\partial V} \right)_{T,N} \leq 0$$

pero no veo cómo esto es utilizable en el contexto actual.