Espacio diagonales de un dodecaedro

En realidad, ha recorrido la mayor parte del camino para obtener las diagonales de espacio corto. Sea A cualquier vértice del dodecaedro regular y B el vértice opuesto. Si C es cualquier otro vértice entonces$\triangle ABC$es un triángulo rectángulo con ángulo recto en C porque todos los vértices se encuentran en una esfera con diámetro$\overline{AB}$. Si elegimos C de modo que$\overline{AC}$es una cara diagonal cuya longitud es$a\phi$(diagonales de un pentágono regular con lado de longitud$a$), y si usamos$a\sqrt{1+\phi^4}$como la longitud de la hipotenusa, nos queda$a\sqrt{1-\phi^2+\phi^4}$como la longitud de las diagonales del espacio corto.

si nos enchufamos$\phi^2=1+\phi$y$\phi^4=2+3\phi$(grito a Fibonacci) descubrimos que, de hecho, las diagonales del espacio corto miden$a\phi\sqrt2$y los largos se simplifican a$a\phi\sqrt3$, las proporciones parecen como si estuviéramos tratando con cuadrados y cubos en lugar de pentágonos y dodecaedros. ¿Lo que da?

Las caras diagonales de un dodecaedro regular tienen la propiedad de que si seleccionas una de cada una de las doce caras de la manera adecuada, defines las aristas de un cubo (ver el dibujo en la respuesta de heropup ) . Entonces tus diagonales espaciales cortas del dodecaedro son diagonales de las caras de los cubos, cada arista de las cuales mide$a\phi$, y las diagonales espaciales largas del dodecaedro son diagonales espaciales de los cubos.

Un dodecaedro regular se puede colocar en$\mathbb R^3$tal que los vértices son

$$(\pm 1, 0, \pm \phi^2),$$ sus permutaciones circulares$(0, \pm \phi^2, \pm 1), (\pm \phi^2, \pm 1, 0)$, y el cubo inscrito$(\pm \phi, \pm \phi, \pm \phi)$, dónde$\phi = (1 + \sqrt{5})/2$es la proporción áurea. El circunradio es por lo tanto$\phi \sqrt{3}$, y la longitud de la arista dodecaédrica es simplemente$2$. Entonces las caras diagonales tienen una longitud igual a la longitud de la arista del cubo, que es$2\phi$, la diagonal interior más corta entre dos vértices será la distancia entre, por ejemplo,$(-1, 0, \phi^2)$y$(\phi^2, 1, 0)$, cual es$2 \sqrt{3 + \sqrt{5}}$. Alternativamente, se puede calcular simplemente como$\sqrt{2}$veces la longitud de la arista del cubo, es decir$2 \sqrt{2} \phi$. Es sencillo calcular todas las longitudes de las diagonales interiores y normalizarlas por la longitud de la arista, que dejo como ejercicio.

No tengo tiempo para crear mi propio diagrama, así que saqué uno de Internet . Esta construcción del dodecaedro regular se remonta al menos a la época de Euclides, tal como aparece en los Elementos .

La razón entre la longitud de la arista del cubo y la longitud de la arista del dodeachedron es$\phi$.