¿Es Zelig un dictador arroviano?

La Enciclopedia es de hecho incorrecta. En lo que se equivocan es en que no están considerando perfiles arbitrarios de elecciones individuales, sino que se restringen a un subconjunto particular: aquellos en los que Zelig siempre está de acuerdo con otro miembro del comité. Permitir perfiles arbitrarios incluiría aquellos en los que solo Zelig es para alguna opción, mientras que los otros dos acuerdan en una diferente.

El hecho de que alguien sea o no un dictador se desprende de la regla de votación/función de bienestar social antes de que se haya fijado cualquier estrategia/preferencia de votación particular para esa persona.

Para dar otro ejemplo: si estamos eligiendo colectivamente qué fruta comer para el almuerzo, y la regla de votación que estamos usando es "no importa, son manzanas de todos modos", entonces no tendría sentido llamar a aquellos de nosotros que realmente queremos manzanas a los dictadores.

La respuesta corta es que Zelig es el dictador. Sus preferencias siempre reflejan las preferencias del grupo, y porque ni Alice ni Bob cumplen las condiciones para ser el dictador.

Según el autor: Zelig es el único dictador

Le envié un correo electrónico a Michael Morreau , el autor del artículo de SEP vinculado en la pregunta. Además de ser el autor de ese artículo, es profesor de filosofía en Noruega y ha publicado artículos sobre la teoría de la elección social. Su respuesta (textual) está abajo.

Gracias por la pregunta. En el ejemplo, Zelig es el dictador de la función de bienestar social y (siempre que no esté sentado al lado de la misma persona cada vez) es el único dictador.

Para un ejemplo concreto, deje que las otras dos personas sean Alice y Bob. Cada vez que tienen su reunión con Zelig, llaman para cenar después, ya sea x (digamos comida china para llevar) o y (pizza). Ellos toman su decisión de ser x o y, en cualquier ocasión, por mayoría de votos. Alicia a veces prefiere x a y, ya veces y a x; lo mismo es cierto para Bob; y estos dos tienen sus preferencias independientemente uno del otro, de modo que a veces Alicia prefiere x a y pero Bob prefiere y a x, ya veces Bob prefiere x a y pero Alicia prefiere y a x. Zelig, mientras tanto, a veces se sienta al lado de Alice ya veces al lado de Bob y toma la preferencia entre x e y de quien sea que esté sentado al lado. Además, a veces se sienta al lado de Alice cuando ella y Bob tienen preferencias diferentes,

Ahora, Zelig es un dictador en el sentido de Arrow. Cada vez que prefiere x a y es porque está sentado junto a otra persona que lo hace, ya sea Alice o Bob, y eso es dos de tres, una mayoría. El grupo también prefiere x a y.

Alice no es una dictadora. Hay ocasiones en las que ella prefiere x a y, pero Bob prefiere y a x y resulta que tiene a Zelig sentado a su lado. En tales ocasiones, la preferencia mayoritaria es de y a x, lo que no concuerda con la preferencia de Alicia. Por idéntico razonamiento, Bob no es un dictador.

Podríamos modificar el ejemplo estipulando una restricción de dominio adicional, correspondiente a la suposición de que Zelig siempre se sienta al lado de la misma persona, digamos Alice. Entonces tanto Zelig como Alice siempre tienen las mismas preferencias y ambos son dictadores. Es como si hubiera solo dos personas en el grupo, pero una de ellas, Alice-Zelig, tiene dos votos. No establecí el ejemplo de esta manera porque quería que un conformista fuera el dictador arroviano, y Zelig es el único conformista: Alice y Bob tienen sus preferencias independientemente el uno del otro y de Zelig.

En el enlace que me enviaste, alguien escribe:

para el perfil ⟨RZelig,RAlice,RBob⟩ con xRZeligy, yRAlicex y yRBobx, tenemos yPx, lo que contradice la definición anterior de dictadura. Ahora, es posible que nunca encontremos este perfil en realidad debido a los comportamientos de votación de Zelig, pero eso no afecta las propiedades de f.

Este perfil como se da cuenta el escritor no surge “en la realidad”. En términos técnicos, esto significa que es adecuado dejar que la función de bienestar social sea mayoritaria en un dominio que no incluye este perfil: este es un “dominio restringido”. Como su dominio es parte de la definición de una función, incluyendo una función de bienestar social, esto contrariamente a lo que escribe este autor “afecta las propiedades de f”. Este tipo de error se comete fácilmente a medida que avanzamos y retrocedemos entre hablar informalmente de "regla de la mayoría" y la realización técnica de esta idea en el marco de Arrow, en el que la f funcional se define para un conjunto particular de individuos (aquí solo Alice, Bob y Zelig), un conjunto particular de opciones (aquí especificado para incluir x e y,

El escritor parece ser consciente de ello, sugiriendo que podríamos “considerar el peculiar comportamiento de Zelig como parte de la función de bienestar social”. La siguiente afirmación del escritor de que el dictador es “quien se sienta al lado de Zelig… ya que Zelig les da su voto” es cierta, como he ilustrado, solo si Zelig siempre se sienta al lado de la misma persona, en todas las ocasiones. . Sin embargo, incluso en este caso, y contrariamente a lo que afirma el escritor, el mismo Zelig es también un dictador de f en el sentido técnico de Arrow.

Resumen

Para ser un dictador, las preferencias de Alice o Bob siempre tendrían que coincidir con las preferencias del grupo. Este no es el caso, ya que la preferencia de Alice o Bob solo coincide con la preferencia del grupo cuando se sientan más cerca de Zelig. Por lo tanto, no son dictadores. Zelig lo es, porque su preferencia siempre coincide con la preferencia del grupo.

Un dictador debe ser una sola instancia de un ser humano. La "persona sentada al lado de Zelig" no es la misma persona en todos los casos, por lo que no puede ser un dictador. Esto cambia si asume asientos consistentes.

La descripción que hace la SEP de Zelig implica cierta prestidigitación retórica, pero no creo que sea del todo incorrecta, en un sentido formal y matemático. Creo que SEP resuelve el problema con este párrafo:

Arrow impuso D junto con el requisito U de que el dominio no tiene restricciones. Quizás esta condición exprese algo más cercano a su significado pretendido entonces. Con un dominio sin restricciones, un dictador, a diferencia de Zelig, es alguien cuyas preferencias entran en conflicto con las de los demás en una variedad de casos, y en cada caso son sus preferencias las que concuerdan con las preferencias sociales, no las de ellos. Sea como fuere, el ejemplo de Zelig muestra que si es apropiado imponer D a las funciones de bienestar social depende de los detalles del problema de elección en cuestión. El nombre de esta condición es engañoso. A veces no hay nada antidemocrático en tener un “dictador”, en el sentido técnico de Arrow.

Desempaquemos lo que significa U. Informalmente, U significa que cada persona puede votar por cualquier orden de preferencia que desee. Si bien este puede parecer el caso con el ejemplo que involucra a Zelig, el autor ha asumido tácitamente que el comportamiento de Zelig es parte del sistema de votación en sí mismo, y no un comportamiento voluntario por parte de Zelig. En otras palabras, el autor ha asumido que Zelig en realidad no tiene ninguna opción y, en cambio, recibe una boleta prellenada que devuelve inmediatamente sin modificar.

En defensa del Dr. Moreau (el autor de este artículo), no hay otra forma razonable de describir formalmente el comportamiento de Zelig, a menos que queramos desviarnos de la formulación original de Arrow. Arrow no admite la noción de que "un votante limita voluntariamente sus propias elecciones", por lo que podemos tener un sistema de votación en el que el voto de Zelig esté artificialmente restringido, o un sistema de votación en el que Zelig pueda votar por cualquier cosa, pero no un sistema de votación en el que Zelig elige voluntariamente votar por "lo que quiera el otro". Si bien probablemente podríamos encontrar otra forma de formalizar el comportamiento de Zelig, el resultado no es un "sistema de votación" en el sentido en que lo define Arrow, porque contendría estructuras matemáticas adicionales que Arrow no contempló.

Arrow eligió formalizar las cosas de esta manera, porque a Arrow realmente no le importan los votantes como Zelig. Arrow está tratando de describir un sistema que funcione para todos los votos posibles y todos los votantes posibles, y en ese contexto, es de sentido común que a los votantes se les debe "permitir" votar de la forma que quieran. Esta es también la razón por la que Arrow usa el término "dictador", porque a Arrow no le importan los sistemas en los que se viola U, como el ejemplo con Zelig. En los sistemas que cumplen U, el término "dictador" es bastante exacto. Por otro lado, el Dr. Moreau señala que, en los sistemas donde se viola U, también se puede violar D, incluso cuando la violación no se parece mucho a un dictador (recuerde, ¡Zellig no tiene opción!).