¿Es válido construir un tensor de trabajo a partir de fuerza y ​​desplazamiento?

Como se menciona en los comentarios, el trabajo debe ser un escalar, que es invariante bajo el cambio de sistema de coordenadas. Sin embargo, un tensor de 2 formas no lo es, por lo que esta formulación tensorial del trabajo complica innecesariamente las cosas.

Sin embargo, creo que los elementos diagonales tienen sentido en algún nivel; de hecho, si toma la traza de esta matriz, encontrará que da el trabajo realizado en el bloque. Entonces, en algún nivel intuitivo, puedes pensar en el$F_xS_x$término como la contribución de la fuerza a lo largo de la$x$componente, y de manera similar para$F_yS_y$y$F_zS_z$, por lo que el trabajo total es solo la suma de los tres.

Los elementos fuera de la diagonal no son muy físicos, y no puedo pensar en una medida física de lo que representarían.

En física, los objetos casi siempre se definen por la virtud de cómo se transforman bajo alguna regla particular. Personalmente, me gusta pensar en los tensores como objetos definidos de manera conveniente para indicar cómo se transforman bajo una transformación particular. Los detalles de cómo se transforma el objeto están 'codificados', por así decirlo, en el tensor. Así como las transformaciones vienen en variedades, los tensores vienen en variedades.

Tome un escalar, por ejemplo. Escalar es solo un número. No importa cómo transforme su configuración, el escalar no cambia. (La temperatura es un buen ejemplo. Si inclina la cabeza y ve la habitación, la temperatura en cada punto de la habitación permanece igual que antes de que inclinara la cabeza). Estos objetos son invariantes bajo una transformación prescrita (no es necesario que siempre ser una rotación simple, pueden ser impulsos de Lorentz y todo tipo de otras transformaciones). Este tipo de objeto es un objeto de un elemento. Decimos que el escalar es un tensor de rango cero.

Los vectores son objetos que cambian cuando cambias el espacio (o sistema de coordenadas) en el que vive. Los vectores son objetos que son inherentemente sensibles al sentido de "direcciones" en el espacio (a diferencia de los escalares). Para decirlo matemáticamente, los vectores son objetos que se transforman linealmente cuando rotas el sistema de coordenadas. Si tienes un vector$\vec{A} = x_0\hat{x}$eso es puramente a lo largo del$\hat{x}$-dirección, y giras tu sistema de coordenadas en 45$^0$acerca de$z$-eje en el$xy$-plano, el objeto ahora no está estrictamente a lo largo$\hat{x}$-dirección nunca más! se ha convertido en algo$A\hat{x}+B\hat{y}$. Es decir, la transformación rotacional ahora la ha convertido en una combinación lineal de$x_1\hat{x}$y$y_1 \hat{y}$. Estos objetos se escriben convenientemente en forma de matriz columna. El número de elementos en la matriz de columna indicaría la dimensión del espacio en el que vive el vector. En el espacio euclidiano, tendrías tres elementos para un vector. Dado que necesita una columna para describir un vector, es un tensor de rango uno .

Para mejorar un poco el juego, puede definir objetos que no están hechos de una sola matriz de columna como en el caso de los vectores, sino de una$N \times N$¡matriz! Este tipo de objeto puede tener connotaciones un poco extrañas, pero no es un objeto más extraño que, digamos, un vector. Dado que este objeto toma columnas y filas , este es un tensor de rango dos .

De manera similar, puede crear un tensor de rango tres , pero sería difícil escribirlo en papel ya que el tercer arreglo saldría de la página, es decir, un$N \times N \times N$matriz.

Ahora, no tiene sentido definir estos objetos a menos que tengamos algún tipo de regla de composición que los haga interactuar entre sí. Aquí es donde introducimos el concepto de dual . Cada uno de estos objetos, ya sea un escalar, un vector o un tensor, vive en su propio espacio. Pero también hay un dual (o un gemelo, si se quiere) para cada uno de estos elementos que viven en otro espacio que llamamos el 'espacio dual'. ¿Por qué necesitamos este espacio dual? Porque insistimos en que cualquier regla de composición sólo puede hacerse entre los objetos y su contraparte en el espacio dual. ¡No hay dos objetos del mismo espacio que puedan 'componer'!

Por ejemplo, ¡el dual de un vector de columna sería un vector de fila! Y cuando insiste en que la regla de composición es la multiplicación de matrices (vector de fila multiplicado por vector de columna), ¡obtenemos mágicamente un escalar! A esto lo llamamos el 'producto escalar'. Por supuesto, también puede obtener un vector componiendo dos vectores juntos, como lo haría en el caso de los productos cruzados.

En su pregunta, sin embargo, ha definido 'trabajo' como un tensor, pero el trabajo no es ese tipo de objeto. El trabajo es, por definición, un escalar, y por lo tanto no puede ser denotado por un$N \times N$matriz. Por definición, es el producto escalar de dos vectores,$\vec{F}$y$\vec{s}$, donde la primera es la fuerza y ​​la segunda es el camino tomado por el objeto en lugar de la fuerza. Como el trabajo es un escalar, tiene que ser solo un número. Entonces$\vec{F}.\vec{s}$sería:

$$\begin{align} \begin{bmatrix} F_x F_y F_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_x \\ s_y \\ s_z \end{bmatrix} = F_x s_x + F_ys_y + F_zs_z = W \end{align}$$

Escribir la matriz todas y cada una de las veces puede ser un poco tedioso, por lo que tenemos la maravillosa notación de índice, mediante la cual se suman los índices repetidos. Por ejemplo, la multiplicación de matrices anterior se puede escribir sucintamente como$F_\mu s^\mu$, dónde$\mu$en nuestro caso anterior va de 1 a 3, para cada$x$,$y$, y$z$. De esta manera de escribir, se asegura de que un objeto de índice inferior siempre sea golpeado con el objeto de índice superior. Eso es porque$a_\mu$es de un espacio y$a^\mu$es su gemelo del espacio dual! Puedes multiplicar objetos solo con sus duales. (Sucede que Euclidean es autodual, por lo que los vectores cartesianos normales no necesitan tanta distinción).

También puede tener matrices definidas por esta notación de índice, y esa cantidad estaría rodeada por dos índices, un índice para indicar la fila y otro para indicar la columna ($M^{21}$denotaría el elemento en$2^{nd}$fila y$1^{st}$columna en matriz$M$). Si tengo un vector$\vec{A}$(denotado por matriz de columna) y actúo como una matriz de rotación$M$en$A$para rotarlo a algún otro vector$B$, en cuanto a matriz escribiría como

$$\begin{align} \begin{bmatrix} M^{11} M^{12} M^{13} \\ M^{21} M^{22} M^{23} \\ M^{31} M^{32} M^{33} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_1 \\ B_2 \\ B_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A_1 M^{11} + M^{12}A_2 + M^{13}A_3 \\ A_1 M^{21} + M^{22}A_2 + M^{23}A_3 \\ A_1 M^{31} + M^{32}A_2 + M^{33}A_3 \end{bmatrix} \end{align}$$

En lugar de escribirlo así, simplemente puedo escribir la misma transformación que$M^{\mu\nu}A_\nu = B_\mu$, dónde$\mu$va de 1 a 3, y los índices repetidos se suman. Puedes comparar y ver por ti mismo, ¡funciona perfectamente! Se vuelve especialmente útil si va a escribir transformaciones que tienen dimensiones muy altas y el rango de los tensores también es alto. (No puede escribir una matriz 3D en papel, pero con la notación de índice, ¡el cielo es el límite!) Espero que la respuesta le haya sido útil. ¡Salud!

El trabajo realizado por una fuerza se define como un escalar, por lo que no es un buen comienzo para aprender tensores. El trabajo es solo un mapeo escalar de dos vectores. En realidad, está usando un tensor de rango 2 ya que implica una métrica , que es trivialmente la matriz identidad de elementos$\delta_{ij}$en coordenadas cartesianas: el producto escalar en el espacio euclidiano 3D. Para algún desplazamiento infinitesimal (de componentes cartesianos$ds_i$), podrías escribir

$$\begin{equation}\tag{1} dW_F = \vec{\boldsymbol{\mathrm{F}}} \cdot d\vec{\boldsymbol{\mathrm{s}}} \equiv \sum_{i, j} \delta_{ij} \, F_i \, ds_j. \end{equation}$$

Ahora considere la corriente eléctrica$\vec{\boldsymbol{\mathrm{J}}}$y el campo eléctrico externo aplicado$\vec{\boldsymbol{\mathrm{E}}}$. En un material lineal , homogéneo e isotrópico , la relación es muy simple (es la ley microscópica de la conducción):

$$\begin{equation}\tag{2} \vec{\boldsymbol{\mathrm{J}}} = \sigma \, \vec{\boldsymbol{\mathrm{E}}}. \end{equation}$$ En forma de componentes cartesianos: $$\begin{equation}\tag{3} J_i = \sigma \, E_i. \end{equation}$$ Aquí,$\sigma$es una constante simple (el material es homogéneo ), interpretada como la conductividad del material . Ahora, si el material es homogéneo, pero no isotrópico (como en un cristal), debes cambiar la relación anterior así: $$\begin{equation}\tag{4} J_i = \sum_{j = 1, 2, 3}\sigma_{ij} \, E_j. \end{equation}$$ Aquí, los componentes cartesianos$\sigma_{ij}$define los elementos de la matriz de conductividad. La conductividad se convierte en un tensor de rango 2 , que aplica linealmente el campo eléctrico a la densidad de corriente. Luego puede escribir esta expresión tensorial (el producto tensorial$\otimes$es un dispositivo de contabilidad que le recuerda el orden de los índices): $$\begin{equation}\tag{5} \boldsymbol{\sigma} = \sum_{i, j} \sigma_{ij} \, \boldsymbol{\mathrm{e}}_i \otimes \boldsymbol{\mathrm{e}}_j, \end{equation}$$ dónde$\boldsymbol{\mathrm{e}}_i$son los tres ($i = 1, 2, 3$) vectores unitarios cartesianos asociados a sus ejes cartesianos.

También podría considerar la relación entre el momento angular$\vec{\boldsymbol{\mathrm{L}}}$de alguna forma sólida y su velocidad angular$\vec{\boldsymbol{\mathrm{\omega}}}$como otro ejemplo. En general$L_i \ne I \, \omega_i$, dónde$I$es el momento de inercia alrededor de algún eje. Podrías escribir esto:

$$\begin{equation}\tag{6} L_i = \sum_{j = 1, 2, 3}I_{ij} \, \omega_j, \end{equation}$$ dónde$I_{ij}$son los componentes cartesianos del tensor de inercia (una matriz simétrica de 3 por 3). Este es otro ejemplo de un tensor de rango 2. Está mapeando linealmente la velocidad angular de rotación (alrededor de algún eje) al momento angular del objeto giratorio.

Un poco relacionado con su problema, podría considerar la presión (o tensión , o más generalmente estrés ) ejercida en un fluido o un sólido elástico. Es un mapeo lineal del vector de área infinitesimal (de componentes cartesianos$dA_i$) al vector de fuerza infinitesimal aplicado en esa área:

$$\begin{equation}\tag{7} dF_i = \sum_{i, j} p_{ij} \, dA_j. \end{equation}$$