¿Es válida mi prueba de que las medianas de un triángulo son concurrentes?

Considere cualquier triángulo ABC. Conecta los puntos medios de cada uno de los tres lados. El triángulo inscrito es igual a los otros tres triángulos y todos son congruentes. Resulta que las medianas del triángulo más grande son también las medianas del triángulo más pequeño, inscrito en el centro.

(Aquí es donde se pone arriesgado)

Me gustaría decir que en este punto, podrías repetir este proceso en el triángulo inscrito centralmente más pequeño y luego continuar haciéndolo infinitamente. Entonces diría que en el infinito, los puntos del triángulo más pequeño serían el mismo punto. Tada, las medianas son concurrentes. ¿Es esto válido?

Esto fue hecho por diversión, agradecería no estar enterrado en una ventisca de Álgebra o Cálculo. Intuitivamente, ¿funciona esto?

Sí, se puede hacer, con una pequeña tormenta de análisis. La intuición es buena. El único problema es que para llevar a cabo los detalles necesitamos ir mucho más allá de la geometría elemental. Uno evitaría el definitivamente arriesgado "en el infinito" y lo reemplazaría con la noción de límite.
Fresco. Todavía no he aprendido ningún análisis, pero tengo una comprensión razonable de lo que pasa como "cálculo" en un plan de estudios universitario. Si crees que no estaré fuera de mi alcance con una pequeña tormenta de análisis, me encantaría escuchar la explicación. De lo contrario, si desea reformatear su comentario como una respuesta, lo aceptaré.

Respuestas (2)

Su solución es inteligente, sin embargo...

En el caso de la geometría plana "clásica" (geometría de regla y compás), por lo general no se permiten construcciones que impliquen iteraciones infinitas. Si lo fueran, podría describir una construcción, involucrando un número infinito de pasos/iteraciones, para trisecar un ángulo.

¿Te estás restringiendo a este sentido limitado de la geometría?

Yo no estaba. Principalmente esperaba satisfacerme a mí mismo demostrando que se encuentran en un punto. Quería asegurarme de que mi argumento no fuera falaz.

La intuición es buena, es un buen argumento y se puede ajustar.

El único problema es que para llevar a cabo los detalles necesitamos ir mucho más allá de la geometría elemental.

Uno necesita pasar por alto el definitivamente incierto "en el infinito" y reemplazarlo con la noción de límite. Dejar T 0 Sea el triángulo original, T 1 el "triángulo central" de T 0 , T 2 el triangulo central de T 1 , etcétera. Tenemos lo que técnicamente se llama una secuencia anidada de triángulos. Si d norte es el diámetro de T norte , sin embargo uno se preocupa por definir el diámetro, entonces límite norte → ∞ d norte = 0 .

Las tres medianas de T 0 pasar por T norte , como usted observó. Es un resultado estándar que la intersección de la secuencia anidada ( T norte ) consiste en un solo punto, y las medianas deben pasar todas por este punto.

Podría modificar la prueba para obtener el resultado de que el punto de encuentro de las medianas divide cada mediana en 2 a 1 relación.

Gracias, pensé que era bonito. Los límites tienen sentido. Había pensado que podría ser capaz de obtener el resultado 2:1. Tendré que mirar eso más.
El problema técnico es que el hecho de que las medianas son concurrentes se puede probar usando un conjunto de axiomas mucho más débiles que los que usamos implícitamente. Usamos el Principio de Continuidad, esencialmente equivalente al hecho de que nuestra geometría ha terminado R 2 . Pero esa es la geometría ordinaria de la intuición, así que está bien.
¿Es válida mi prueba de que las medianas de un triángulo son concurrentes?
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