Determinar el área suficiente de un anillo 2D de modo que pueda caber en 48 círculos cada uno con un radio de 35

La disposición ingenua que satisface el requisito de las dos filas consiste en colocar la mitad de los círculos en una fila y la otra mitad en la segunda, de modo que los círculos adyacentes en la fila interior sean tangentes y los círculos en la fila exterior sean tangentes a los círculos. círculos en la fila interior como se muestra en el siguiente diagrama.

De esta forma, podemos ver que si$r$es el radio común de los círculos pequeños, entonces el anillo tendrá un radio interior

$$R_i = \left( -1 + \csc \frac{\pi}{24}\right) r,$$ y radio exterior $$R_o = \left(1 + \sqrt{3} + \cot \frac{\pi}{24}\right) r.$$ Para$r = 35$mm, esto da $$R_i \approx 233.145 \text{ mm}, \quad R_o \approx 361.473 \text{ mm}.$$

Sin embargo, este arreglo ingenuo parece que hay espacios entre los círculos de la fila exterior en los que podrían caber círculos adicionales. La pregunta es, ¿cuántos? La distancia entre los círculos exteriores adyacentes es exactamente

$$\left(-2 + \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \csc \frac{\pi}{24}\right) r,$$ lo que significa que hay un "desperdicio" de aproximadamente$5$círculos Esto sugiere mover al menos un círculo de la fila interior a la exterior. Pero si hacemos esto, también debemos ajustar el espacio entre las filas interior y exterior. Algunas pruebas y errores muestran que tener$21$círculos para la fila interior, y$27$en la fila exterior, funcionará mejor, como se muestra en la figura a continuación, con el anillo 'ingenuo' en gris y la "mejora" que se muestra delineada en negro.

Este anillo mejorado tiene radios interior y exterior.

$$R_i = \left(-1 + \csc \frac{\pi}{21} \right) r, \\ R_o = \left(3 + \csc \frac{\pi}{21} \right) r,$$ y otra vez por$r = 35$mm, esto da $$R_i \approx 199.833 \text{ mm}, \quad R_o \approx 339.833 \text{ mm}.$$

Tenga en cuenta que los círculos de la fila exterior aún no son tangentes entre sí: hay una pequeña cantidad de espacio entre ellos,

$$\Delta = \left(-2 + 2 \left(2 + \csc \frac{\pi}{21}\right)\sin \frac{\pi}{27}\right) r \approx 0.0222239 r.$$ Pero debería ser obvio que no caben más círculos en la fila exterior.

Aunque esta disposición también tiene desperdicio en forma de una colocación potencialmente subóptima de la fila exterior con respecto a la fila interior, es tan pequeña que no es probable que cualquier mejora adicional suponga una diferencia sustancial en el radio exterior del anillo. Es decir, la disposición ingenua minimiza el "ancho" de la banda anular$R_o - R_i$, pero la "mejora" está muy cerca del radio exterior mínimo alcanzable.

Esta respuesta no es muy diferente de la primera parte de la excelente dada por @heropup. Consideramos collares hechos de 48 discos con distancias alternas al origen (ver tres casos en la fig. 2); dicho de otro modo, cuando los centros de los círculos que se tocan están conectados por un segmento de línea, estos segmentos de línea representan un polígono en forma de estrella (con puntas alternas), con el caso límite que se muestra a la derecha de la Fig. 2.

El interés de esta respuesta es mostrar, en contra de la intuición, que una fila (= collar) con 48 discos en contacto (último caso de la Fig. 2) es más ventajosa para la minimización del área del anillo envolvente que 2 filas ( collares) con 24 discos en cada fila (primer y segundo caso de la Fig. 2).

Una primera cifra que da el área$A(r)$del anillo envolvente en función del radio interno$r$:

Fig. 1: Área anular$A(r)$en función del radio interno$r$.

La segunda figura a continuación da la configuración en tres casos correspondientes al punto inicial, el punto máximo y el punto final de la Fig. 1, siendo el tercer caso el más favorable:

Fig. 2: 3 casos diferentes para$r$con disminución progresiva de los picos.

En lugar de los detalles del cálculo, aquí está el programa Matlab que ha generado las diferentes figuras que acabamos de ver sobre las cuales se entienden muchos aspectos:

a=pi/24;s=sin(a);c=cos(a);
mini=35*(1/s-1);maxi=35*(2/s-1); % see solution by heropup.
r=mini:maxi; % range of inner radius r
R=@(r)((r+35)*c+35+sqrt(4900-s^2*(r+35).^2)); 
% R(r) = outer radius as a function of inner radius r
A=@(r)(pi*(R(r).^2-r.^2)); % annulus area
figure(1);plot(r,A(r));grid on
rn=[234,410,501]; % the 3 cases for r
uc=exp(i*(0:0.01:2*pi)); % unit circle 
for k=1:3
    r=rn(k);
    figure(k+1);hold on;axis equal off;
    plot(r*uc);plot(R(r)*uc);
    quiver(0,0,r,0,1);text(r/3,40,['r = ',num2str(r)]); % arrow
    quiver(0,0,0,R(r),1);text(20,r/2,['R = ',num2str(round(R(r)))]);
    text(-r/4,-r/2,['Area = ',num2str(round(A(r)))]);
    for k=1:24; 
       plot(exp(i*k*a/2)*(r+35+35*uc)); % internal disks
       plot(exp(i*(k+1/2)*a/2)*(R(r)-35+35*uc)); % external  ones
    end;
 end;