¿Es una densidad de carga dada una densidad de carga superficial o una densidad de carga volumétrica?

La pregunta exacta es así:

En cierto tubo electrónico, los electrones se emiten desde una superficie metálica plana caliente y son recogidos por un plano metálico plano paralelo al emisor, a una distancia d lejos. (La distancia d es pequeño en comparación con las dimensiones laterales de las placas)

El potencial eléctrico entre las placas está dado por φ = k X 4 / 3 dónde X es la distancia desde el emisor.

a) ¿Cuál es la densidad de carga superficial? σ en el emisor? ¿En el colector?

b) ¿Cuál es la densidad de carga volumétrica? ρ ( X ) para 0 < X < d ?

Ahora traté de hacer un Laplaciano en el potencial eléctrico para que me diera una densidad de carga. Pero estoy confundido.

Tomando Laplaciano en el potencial eléctrico, me daría:

∇ 2 φ = − ρ ε 0

dónde ρ es la densidad de carga. ¿Cómo sé si es densidad de carga superficial o densidad de carga volumétrica?

Respuestas (2)

Esta ecuación siempre le dará una densidad de carga de volumen. Una forma de ver esto es que la densidad de carga superficial y la densidad de carga volumétrica tienen unidades diferentes: C / metro 2 y C / metro 3 respectivamente - y para que las unidades sean consistentes, ρ tiene que ser esto último. El hecho de que la ecuación se escriba con ρ es un recordatorio útil de que es una densidad de carga de volumen.

Por supuesto, tenga en cuenta que el potencial no es k X 4 / 3 en todas partes Esa función solo describe el potencial dentro de una determinada región. También hay que pensar en lo que sucede fuera de esa región y en los límites de la región.

Si intenta resolver la ecuación de Poisson ∇ 2 φ = − ρ / ϵ 0 en la región donde el potencial no se comporta tan bien (como tiene que hacer aquí, si piensa en los límites), puede obtener una solución que involucre una función delta. Solo para sacar un ejemplo de la nada, algo como

ρ ( X , y , z ) = d ( X − L ) mi − y 2 − z 2

Esa es la firma de una densidad de carga superficial que se expresa como una densidad de carga de volumen. σ es la parte distinta de la función delta; en general:

ρ ( X , y , z ) = d ( X − a ) σ ( y , z )

así que en este ejemplo puramente hipotético podrías discernir que σ ( y , z ) = mi − y 2 − z 2 .

Esto es consistente con la afirmación de que las densidades de carga superficiales corresponden a discontinuidades en el campo eléctrico, porque recuerda que puedes escribir la ecuación de Poisson como

∇ → ⋅ mi → = ρ ϵ 0

Cuando mi → es discontinua, su derivada es "infinita", y por lo tanto ρ necesita ser representado como un producto que involucra una función delta.

Supongo que debería haber agregado un recordatorio de que este es un curso de primer año.
La primera respuesta mencionó que el avión es "infinitamente" grande. Entonces, ¿las consideraciones como cerca de los límites o fuera de la región no son innecesarias para el alcance de esta pregunta?
(2 comentarios arriba) bueno, si aún no has aprendido algo de esto, considéralo un adelanto del futuro ;-) pero todo en mi respuesta es física de primer año. (1 comentario arriba) La pregunta se refiere a la densidad de carga en el emisor y el colector, que se encuentran en los límites de la región donde se le da el potencial. Así que esas consideraciones son muy necesarias.

Como se trata de un conductor, las cargas están en la superficie. La declaración de que d es pequeño indica que se espera que modele esto como una superficie plana infinita. Puede calcular el campo eléctrico justo fuera del conductor tomando d φ d X El campo eléctrico dentro del conductor es cero porque es un conductor. Debe tener una fórmula que dé el cambio en el campo al cruzar una densidad de carga superficial.

Ok.. Correcto, y tomando la derivada del campo eléctrico calculado, obtendrás la densidad de carga. Mi pregunta era cómo se distingue entre la densidad de "superficie" y la densidad de "volumen" como se indica en la pregunta.
No hay densidad de carga de volumen en los conductores, porque crearía un campo eléctrico en el conductor, que no puede soportar. Si tiene un aislador, es posible que tenga (y esperaría que lo fuera) una distribución de volumen.
Sí, entiendo, pero la pregunta solicita específicamente una densidad de carga "superficial" en los dos conductores. Pero no estoy muy seguro de cómo calcularlo.
Tienes el campo E entre los conductores dados en el problema tomando la derivada del potencial. Sabes que el campo E es cero dentro de los conductores. Esto le da un cambio de paso a medida que cruza la superficie del conductor, causado por la carga superficial. Ahí es donde digo que deberías tener una ecuación para el cambio de paso en el campo E causado por una carga superficial.
Si no lo hace, considere un cilindro que atraviese la superficie, de gran diámetro en comparación con la altura. No hay campo E a través de los lados del cilindro, solo a través de las caras circulares. Use la ley de Gauss para encontrar la diferencia en el campo E entre los dos círculos.
¿Es una densidad de carga dada una densidad de carga superficial o una densidad de carga volumétrica?
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