¿Es más pesado un avión que vuela hacia el oeste que uno que vuela hacia el este?

Lo que describes se llama efecto Eötvös , llamado así por el físico húngaro Loránd Eötvös.

Eötvös ideó formas de realizar mediciones de gravedad de alta precisión.

Para cartografiar la gravedad en áreas más grandes, se desarrollaron dispositivos que podrían operarse en un barco en movimiento. Eötvös notó que la medición del barco en movimiento necesitaba una corrección para la velocidad del barco.

(El artículo de wikipedia fue iniciado/escrito por mí. La última vez que lo atendí fue en 2008)

Prefiero pensar en el efecto Eötvös en términos de la forma en que afectará la operación de una aeronave . Para un vuelo nivelado, la flotabilidad de una aeronave se recorta para lograr una flotabilidad neutra.

Si una aeronave está volando hacia el este, compensada a flotabilidad neutra, y hace un giro en U, la aeronave debe ser compensada nuevamente.

Copiado del artículo de Wikipedia:

(A continuación, el término de velocidad anotado con$u$es para la velocidad en dirección puramente hacia el oeste/este).

Notación:
$a_u$es la aceleración centrípeta total al moverse a lo largo de la superficie de la Tierra.
$a_s$es la aceleración centrípeta cuando está estacionario con respecto a la Tierra.
$\Omega$es la velocidad angular de la Tierra: una revolución por día sideral.
$\omega_r$es la velocidad angular de la aeronave relativa a la velocidad angular de la Tierra.
$\left(\Omega + \omega_r\right)$es la velocidad angular total de la aeronave.
$u = \omega_r R$es la velocidad de la aeronave (velocidad relativa a la Tierra).
$R$es el radio de la Tierra.

$$\begin{align} a_r & = a_u - a_s \\ & = \left(\Omega + \omega_r\right)^2 R - \Omega^2 R \\ & = \Omega^2 R + 2 \Omega \omega_r R + \omega_r^2 R - \Omega^2 R \\ & = 2 \Omega \omega_r R + \omega_r^2 R \\ & = 2 \Omega u + \frac{u^2}{R} \\ \end{align}$$

La derivación anterior muestra que el cambio en la sustentación requerida para mantener la flotabilidad neutra es proporcional a la velocidad relativa a la Tierra.

Es interesante notar que el efecto Eötvös y el efecto de rotación de la Tierra que se tiene en cuenta en Meteorología son contrapartes físicas.

El componente del efecto de rotación de la Tierra que es perpendicular a la superficie local se denomina efecto Eötvös. En meteorología/oceanografía, la componente paralela a la superficie local se denomina efecto Coriolis.

En meteorología/oceanografía: una masa de fluido (aire/agua) que se mueve en dirección este/oeste tiende a alejarse de la línea de latitud por la que se mueve. Cuando se mueve hacia el este, la masa de fluido tiende a desplazarse hacia el exterior, alejándose del eje de rotación. Cuando se mueve hacia el oeste, la masa de fluido tiende a desplazarse hacia el interior de la línea de latitud por la que se mueve, acercándose al eje de rotación.

(En una esfera: un objeto que inicialmente se mueve a lo largo de una línea de latitud, y luego avanza en línea recta, se moverá a lo largo de un gran círculo. Por otro lado: la masa fluida que se mueve en dirección oeste tiende a moverse hacia el interior de la línea de latitud en la que se encuentra . avanzando, que no es recto).

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[adición posterior]
En la derivación anterior, un término$2u\Omega$surge Este término tiene la misma forma que el término de Coriolis en la ecuación de movimiento cuando se usa un sistema de coordenadas giratorio.

La razón física de ese término.$2u\Omega$surgimiento es el hecho de que la Tierra está girando. Para permanecer corrotando con la Tierra se debe proporcionar una fuerza centrípeta. Siempre que esta fuerza centrípeta vaya a expensas de la aceleración gravitatoria de la ley del inverso del cuadrado de la Tierra. Como sabemos, la masa inercial y la masa gravitacional son equivalentes, por lo que lo que mide un gravímetro es una aceleración gravitacional resultante .

Con un gravímetro que está estacionario con respecto a la Tierra, no hay forma de usar ese gravímetro para evaluar si la Tierra está girando. Sin embargo, si se hace parte de la configuración experimental que el gravímetro se mueva (con la magnitud y la dirección de la velocidad registrada con respecto a la Tierra), entonces es posible evaluar si la Tierra está girando; la rotación de la Tierra se puede deducir de la magnitud del efecto Eötvös observado .

El efecto Eötvös se manifestará de todos modos; obviamente es independiente del sistema de coordenadas que esté usando el experimentador.

Repitiendo la demostración mental de una aeronave que se ajusta a flotabilidad neutra: si esa aeronave hace un giro en U, debe volver a ajustarse. Obviamente, el sistema de coordenadas que está utilizando para describir el movimiento no hace ninguna diferencia.

A veces, puedes ver a un autor afirmando algo como: "La fuerza de Coriolis solo está ahí cuando estás en un marco de referencia giratorio". Lo que ese autor quiere decir es: la ecuación de movimiento tiene un término de Coriolis solo cuando está utilizando un sistema de coordenadas giratorio.

En el caso de la Tierra y la tasa de rotación de la Tierra: la ecuación de movimiento para un sistema de coordenadas giratorio tiene un término centrífugo y un término de Coriolis. Para el sistema de coordenadas de rotación específico que gira conjuntamente con la Tierra, el término centrífugo es igual en magnitud a la aceleración centrípeta requerida y de dirección opuesta. Entonces, lo que hacen los autores es permitir que el término para la aceleración centrípeta requerida y el término centrífugo se alejen uno contra el otro. El término restante, el término de Coriolis, tiene el mismo$2u\Omega$forma como la derivada anteriormente.

Resumen

Sí, lo que escribiste es correcto. Teniendo en cuenta la rotación y el hecho de que nos enfrentamos a corrientes en chorro promedio diferentes, el cambio en la gravedad que vuela de este a oeste es del 0,8 %, lo que debería ser medible si toma una escala correcta. Si pesas 190 libras, ¡eso es una libra y media!

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Consideración opcional: Jet-streams

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(Si no le interesan los ajustes de las tendencias climáticas promedio del mundo real como corrientes en chorro, pase a la siguiente sección).

Nuestra atmósfera está llena de corrientes en chorro y bolsas de aire que se mueven constantemente alrededor de la tierra. Tienden a moverse de la misma manera que gira la tierra (de oeste a este), pero se mueven hacia el este más rápido que la superficie (en otras palabras, se mueven de oeste a este incluso en relación con la superficie).

La gente generalmente se preocupa por el efecto de estos flujos en los tiempos de viaje más que en el peso, por lo que generalmente se preocupan por cómo se mueven los flujos en relación con la superficie. En nuestro caso, necesitamos tener en cuenta el flujo de aire, pero solo en relación con el centro de la tierra , ignorando la rotación. (De manera equivalente, debemos considerar el movimiento de la superficie terrestre y el flujo de aire en relación con la superficie )

Al principio, parecería que la ayuda promedio de la corriente en chorro para un avión en dirección este sería igual al viento de frente promedio que debemos superar volando hacia el oeste. Pero eso no tiene en cuenta el esfuerzo de los pilotos para maximizar el beneficio / minimizar el retraso de las corrientes en chorro. Usan pronósticos para predecir dónde soplarán las corrientes en chorro. La altitud y la trayectoria de vuelo son variables de elección.

Después de leer algunos artículos, supongo que (en relación con la superficie de la tierra) volar hacia el este cuenta con la ayuda de una corriente de 100 mph, y volar hacia el oeste se hace con un viento en contra de 50 mph, y el avión va a 575 mph.

Estos factores son menores que el efecto de la rotación de la tierra en el ecuador (~ 1,000 mph), pero funcionan de manera contribuyente y aumentan la diferencia de peso entre volar hacia el este y volar hacia el oeste.

Entonces, las velocidades relativas al centro de la tierra, volando hacia el este y volando hacia el oeste, si hacia el este es positivo:

$$v_e= 575 + 1,000 +100=1,675 = 750 m/s$$ $$v_w= -575 + 1,000 +50= 475 = 210 m/s$$

Ambas direcciones son este, lo que significa que los aviones comerciales en dirección oeste en el ecuador se mueven hacia el este, incluso si no se enfrentan a una corriente en chorro.

Entonces el clima aumenta la diferencia de peso.

Poner fin a la consideración histórica de la corriente en chorro

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Detalles continuación

Gravedad

Sí, tu lógica es exactamente correcta. Problema muy simple con un cálculo,$\frac{v^2}{r}$.

La reducción de peso proviene de la fuerza centrífuga:

$$F=\frac{m_pv_p^2}{r}$$ , dónde "$p$se refiere al avión,$v$no es relativa a la superficie, y no le “importa” la rotación de la tierra. Ir al este es un mayor$v$como se describe. En términos de la aceleración efectiva de la gravedad en lugar de la fuerza:

$$g_{eff} = G\tfrac{m_e}{r^2} - \tfrac{v_p^2}{r}$$

Finalmente, los aviones tienen menos gravedad solo por su elevación porque están más lejos del centro de la tierra, más altos$r$. Eso reduce la gravedad efectiva.

Estimados

El efecto de vuelo es menor que el efecto de rotación. (Volar comercialmente hacia el oeste en el ecuador no es suficiente para dejar a uno inmóvil sobre la tierra). Con la superficie de la tierra moviéndose 1,000 mph hacia el este y los aviones volando a 575 mph, podemos suponer que el aire va con la superficie. Una velocidad sería 1575 y otra sería 425 mph. (Después de ajustar el clima histórico, las tendencias de la corriente de aire, estos valores fueron 1,675 y 475 en su lugar).

Usando las velocidades ajustadas en$m/s$y un$r$de$6.4E6 ~m$:

$$\frac{v^2}{r} = \frac{(750, ~210)^2}{6,400,000}$$

$$=0.088, ~0.007 m/s^2 = 0.0089 , ~ 0.0007 g$$

Da una diferencia en la gravedad de 0,82%, que sería medible si toma una buena escala. Ignorar las diferencias de la corriente en chorro reduciría esto de 0.8% a 0.7%, lo que hace que 0.7% sea nuestra estimación de 575 mph de velocidad terrestre en ambos sentidos.

Los aviones experimentan fuerzas centrífugas idénticas en el ecuador, independientemente de la dirección de su vuelo.

La ecuación de movimiento en un marco fijado a la superficie de la Tierra es:

$$\vec F -2m\vec{\Omega}\times\vec{v}-m\vec{\Omega}\times(\vec{\Omega}\times\vec{r})=m\vec a$$

Si ponemos eso en el ecuador en coordenadas estándar Noreste-Abajo (NED), el término centrífugo se convierte en una fuerza negativa en la dirección hacia abajo:

$$F_D^{\rm cent} = -m\Omega^2 a \approx -m\frac{g}{289}$$

dónde$a=6378137\,m$es el semieje mayor,$g=9.80665\,$EM$^2$es el$g$, y$\Omega=2\pi/{\rm day}$es la frecuencia angular.

Claramente, la velocidad no entra en la expresión de la fuerza centrífuga, por lo que no puede depender de la velocidad en la dirección este.

Para velocidades hacia el este,$\pm v_E$(con v_E>0), el producto vectorial en la fuerza de Coriolis también es estrictamente hacia arriba o hacia abajo:

$$F_D^{\rm Cor} = \mp 2mv_E \Omega \approx \mp mv_E\frac g {67238}$$

Por lo tanto, el avión con destino este (oeste) se empuja hacia arriba (abajo) y, por lo tanto, pesa menos (más) que un avión estacionario. Esto se conoce como el efecto Eötvös, que se expresa como una reducción (aumento) en la gravedad de los barcos que se dirigen al este (oeste)... y ahora, por supuesto, a los aviones.

En un marco inercial, no hay fuerzas centrífugas ni de Coriolis. La diferencia en el peso aparente se debe a las diferentes fuerzas centrípetas, que tiene una magnitud para los planos con destino al este y al oeste de:

$$F_D = -m\frac{(a\Omega + v_E)^2}{a} - m\frac{(a\Omega - v_E)^2}{a}$$ $$F_D = -\frac{m}{a}\big[((a\Omega)^2+2v_Ea\Omega+v_E^2)- ((a\Omega)^2-2v_Ea\Omega+v_E^2)\big]$$ $$F_D = -\frac{m}{a}\big[4v_Ea\Omega\big]$$ $$F_D = -4mv_E\Omega$$

que exactamente la expresión de la fuerza de Coriolis (al comparar$+v_E$con$-v_E$, la expresión anterior es para$\pm v_E$, por lo tanto, el factor de 2 diferencia).