¿Es la transformación de Legendre una opción única en mecánica analítica?

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¿Es la transformación de Legendre una opción única en mecánica analítica?

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Considere un Lagrangiano $L(q_i, \dot{q_i}, t) = T - V$ , para la energía cinética $T$ y potencial generalizado $V$ , en un conjunto de $n$ coordenadas generalizadas independientes $\{q_i\}$ . Suponiendo que el sistema es holonómico y monogénico, se sigue del principio de Hamilton que $L$ satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange:

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0.

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0.$

El Lagrangiano es convexo con respecto a las velocidades generalizadas $\{\dot{q_i}\}$ , por lo que es natural considerar su transformada de Legendre asociada:

H (q_{i}, {pag}_{i}, t) = \underset{{\dot{q}}_{i}}{sorber} [{\dot{q}}^{i} {pag}_{i} - L (q_{i}, \dot{q_{i}}, t)],

$H(q_i, p_i, t) = \sup_{\dot{q}_i} [\dot{q}^i p_i - L(q_i, \dot{q_i}, t)],$

donde el $p_i = \partial L / \partial \dot{q_i}$ son los momentos conjugados. Se puede demostrar que las ecuaciones de movimiento de $H$ son:

\dot{{pag}_{i}} = - \frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \dot{q_{i}} = \frac{\partial H}{\partial {pag}_{i}}, \frac{d H}{d t} = - \frac{\partial L}{\partial t}

$\dot{p_i} = - \frac{\partial H}{\partial q_i}, \quad \dot{q_i} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \frac{dH}{dt} = - \frac{\partial L}{\partial t}$

En este sentido, $H$ no es otro que el hamiltoniano del sistema. Si bien es evidente que $H$ conduce a una imagen satisfactoria de la mecánica clásica, ¿podría existir otra función de las variables canónicas $(q_i, p_i)$ con sus propias ecuaciones de movimiento?

Pregunta: ¿Existe una transformación no trivial que no sea de Legendre? $\mathcal{T}$ tal que la función definida por $F(q, p, t) = \mathcal{T}[L(q, \dot{q}, t)]$ contiene la dinámica completa del sistema?

DanielSank

Otra pregunta asociada e interesante es, si otras transformaciones que no son de Legendre producen la dinámica, ¿qué pasa si hay algo especial en la transformación de Legendre?

una mente curiosa

@DanielSank: Hay algo "especial" en la transformación de Legrendre: es el cambio entre describir una función por su gráfico o las tangentes a su gráfico y, por lo tanto, el cambio entre describir la evolución de un sistema "globalmente" o "infinitesimalmente".

una mente curiosa

Para la pregunta: ¿No es obvio que cualquier transformada invertible producirá una función que contiene la misma información y obedece a la versión transformada de las ecuaciones EL?

qmecanico

La pregunta (v2) parece una pregunta de lista, comenzando con la transformación de identidad, la transformación de Legendre y varios híbridos de Routhian.

Última

@Q Mechanical: la transformación de un Lagrangiano a algún tipo de Routhian puede no responder a mi pregunta, ya que la transformación debe producir una función solo de

(q, p)

$(q,p)$ (y el tiempo) y ninguno de sus derivados.

fénix87

Por lo general, prefiero mirar la siguiente pregunta: la ley de Newton da un sistema de EDO de segundo orden; el formalismo lagrangiano conduce a las ecuaciones de Newton. ¿Existe una forma sistemática de convertir este sistema de ODE de segundo orden en forma canónica, es decir, un sistema equivalente de ODE de primer orden? Esto es precisamente lo que hace el formalismo hamiltoniano y la transformada de Legendre es la herramienta sistemática para lograrlo. Supongo que cualquier otra transformación que haga el trabajo sería igualmente buena, pero no conozco ninguna.

Respuestas (2)

¿Es la transformación de Legendre una opción única en mecánica analítica?

Otra pregunta asociada e interesante es, si otras transformaciones que no son de Legendre producen la dinámica, ¿qué pasa si hay algo especial en la transformación de Legendre?
@DanielSank: Hay algo "especial" en la transformación de Legrendre: es el cambio entre describir una función por su gráfico o las tangentes a su gráfico y, por lo tanto, el cambio entre describir la evolución de un sistema "globalmente" o "infinitesimalmente".
Para la pregunta: ¿No es obvio que cualquier transformada invertible producirá una función que contiene la misma información y obedece a la versión transformada de las ecuaciones EL?
La pregunta (v2) parece una pregunta de lista, comenzando con la transformación de identidad, la transformación de Legendre y varios híbridos de Routhian.
@Q Mechanical: la transformación de un Lagrangiano a algún tipo de Routhian puede no responder a mi pregunta, ya que la transformación debe producir una función solo de $(q,p)$ (y el tiempo) y ninguno de sus derivados.
Por lo general, prefiero mirar la siguiente pregunta: la ley de Newton da un sistema de EDO de segundo orden; el formalismo lagrangiano conduce a las ecuaciones de Newton. ¿Existe una forma sistemática de convertir este sistema de ODE de segundo orden en forma canónica, es decir, un sistema equivalente de ODE de primer orden? Esto es precisamente lo que hace el formalismo hamiltoniano y la transformada de Legendre es la herramienta sistemática para lograrlo. Supongo que cualquier otra transformación que haga el trabajo sería igualmente buena, pero no conozco ninguna.

gentil · Answer 1

Pregunta: ¿Existe una transformación T no trivial que no sea de Legendre tal que la función definida por F(q,p,t)=T[L(q,q˙,t)] contenga la dinámica completa del sistema?

Respuesta: cualquier función que produzca las ecuaciones de movimiento bajo algún tipo de reglas que establezcas es una función permitida para describir la dinámica. En particular cualquier función que se pueda colocar en un principio de acción y derivar del mismo dando lugar, después de algunos pasos, a las ecuaciones de movimiento.

Dicho esto, las descripciones lagrangianas y hamiltonianas no son equivalentes. Solo lo son si la matriz hessiana con respecto a posiciones y velocidades es invertible en cualquier punto del dominio del espacio de configuración, lo que en general no sucede para las teorías de campo y las teorías de partículas que interactúan (aunque sí sucede para la partícula puntual) . Cualquier función siempre invertible $\tau[\mathcal{L}(q,\dot{q},t)]$ puede describir de manera equivalente la dinámica del sistema porque, debido a la invertibilidad, siempre puede expresar $q,\dot{q}$ en términos de las otras variables que introduce utilizando el teorema de Dini sobre funciones implícitas (siempre que sus suposiciones se mantengan).

Sin embargo, hay algo que te hace querer usar la transformación de Legendre hamiltoniano-lagrangiano, que es exactamente lo que dice @ACuriousMind arriba al describir el gráfico de una función por su tangente en cualquier punto (velocidad). Aparte de eso, puede introducir fácilmente cualquier otra función que desee y tomar derivados de la misma.

Las descripciones lagrangianas y hamiltonianas son equivalentes (o más bien, pueden hacerse equivalentes) en el caso de la arpillera no invertible si uno recuerda los datos perdidos debido a la no invertibilidad en forma de restricciones (primarias ) .
Que, a su vez, debe ser invertible para recuperar posiciones y velocidades traseras. Equivalente a pedir que todo el Hessian sea.
Me pregunto si hay un error tipográfico en la siguiente oración: "... no sucede con las teorías de campo y las teorías de partículas que interactúan (aunque sí sucede con la partícula puntual)". Parece un poco confuso, ya que obviamente las partículas puntuales también pueden estar interactuando.
Sí, lo siento, no estaba claro, quise decir partículas de puntos libres.

Última · Answer 2

Sobre la base de las respuestas de ACuriousMind y Gennaro Tedesco , intentaré proporcionar una respuesta satisfactoria, aunque no matemáticamente rigurosa.

Pregunta: ¿Existe una transformación T no trivial que no sea de Legendre tal que la función definida por F(q,p,t)=T[L(q,q˙,t)] contenga la dinámica completa del sistema?

Sí, cualquier transformación invertible que tome una función de $(q,\dot{q}, t)$ a una función de $(q, p, t)$ producirá la dinámica correcta del sistema. Considere una transformación invertible $\mathcal{T}$ del lagrangiano $L(q, \dot{q}, t)$ tal que

A (q, pag, t) = T [L (q, \dot{q}, t)],

$A(q, p, t) = \mathcal{T}[L(q, \dot{q}, t)],$

dónde $p$ es el momento conjugado a $q$ . El principio de Hamilton requiere que la variación de primer orden de la acción asuma cero, es decir

d \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q, \dot{q}, t) d t = 0.

$\delta \int_{t_1}^{t_2}L(q, \dot{q}, t) dt = 0.$

Sustituyendo $A$ en los rendimientos integrales

d \int_{t_{1}}^{t_{2}} T^{- 1} [A (q, pag, t)] d t = 0.

$\delta \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{T}^{-1}[A(q,p,t)] dt = 0.$

Dejar $F(q,p,t) = \mathcal{T}^{-1}[A]$ . El integrando en consideración depende independientemente de $q$ y $p$ , por lo tanto, la variación cero de la integral implica que las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrangian se satisfacen independientemente para ambos $q$ y $p$ :

\frac{d}{d t} \frac{\partial F}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial F}{\partial q} = 0,

$\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial F}{\partial q} = 0,$

\frac{d}{d t} \frac{\partial F}{\partial \dot{pag}} - \frac{\partial F}{\partial pag} = 0.

$\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{p}} - \frac{\partial F}{\partial p} = 0.$

Como señalan correctamente ACuriousMind y Phoenix87 , el hamiltoniano generado por la transformación de Legendre es una elección natural. Esto se debe al hecho de que proporciona una forma sistemática de pasar de una función convexa $f(x)$ a su representación pendiente $g(s)$ , dónde $s = f'(x)$ .

No estoy seguro de que esto sea correcto: $F$ es una función de $\dot{q}$ , no $p$ , con $\dot{q}$ siendo un parámetro de un funcional de $H_0(p) = H(p,\,q_0,\,t_0)$ , entonces $p$ desaparece Por lo tanto, ¿cómo puedes escribir el último par de ecuaciones?

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