¿Cuál es la intuición física para las estructuras simplécticas?

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¿Cuál es la intuición física para las estructuras simplécticas?

usuario40276

Siempre pensé en las formas simplécticas como elementos de áreas en pequeños subespacios debido al teorema de Darboux, sin embargo, no puedo obtener la intuición física para ello y para el campo vectorial hamiltoniano.

Para simplificar las cosas, consideremos el espacio de configuración $TQ$ , lo sabemos $T^{*}Q$ siempre tienen una estructura simpléctica poniendo $\omega = d\theta$ dónde $\theta = \sum p_i dq_i$ es la forma única de Liouville, entonces el campo vectorial hamiltoniano está definido por $\omega(X_H, Y) = dH(Y)$ y puedo cambiar del Lagrangiano $L : TQ \longrightarrow \mathbb{R}$ al hamiltoniano $H :T^{*}Q \longrightarrow \mathbb{R}$ por el tensor de masa (1, 1) $M=M_i^j$ . Entonces, ¿para qué sirve la intuición física? $\omega$ , $X_H$ y $\theta$ ? ¿Por qué la gente usa una estructura simpléctica en mecánica (si es para definir $X_H$ , cual es la utilidad de $X_H$ ?)? Además es la única utilidad de cambiar el lagrangiano al hamiltoniano la existencia de una forma simpléctica en $T^{*}Q$ ?

Cristóbal

a vista de pájaro, la dinámica viene dada por un campo vectorial en alguna variedad (es solo la descripción infinitesimal del flujo); si queremos derivar ese campo vectorial de un potencial, necesitamos una estructura adicional como el operador diferencial natural

d

$d$ produce una forma 1

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/32738/2451 y mathoverflow.net/q/157633/13917

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¿Cuál es la intuición física para las estructuras simplécticas?

a vista de pájaro, la dinámica viene dada por un campo vectorial en alguna variedad (es solo la descripción infinitesimal del flujo); si queremos derivar ese campo vectorial de un potencial, necesitamos una estructura adicional como el operador diferencial natural $d$ produce una forma 1
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si · Answer 1

Si considera el espacio de fase (el espacio de datos iniciales) ${\cal{M}}$ de un sistema clásico puede verse como el paquete cotangente $T^{*}Q$ del espacio de configuración $Q$ .

Como dices, este paquete tiene una estructura simpléctica natural. $\omega:T{\cal{M}}\times T{\cal{M}}\rightarrow \mathbb{R}$ . Ahora dado un hamiltoniano $H:{\cal{M}}\rightarrow \mathbb{R}$ usando la inversa de la estructura simpléctica podemos obtener el campo vectorial hamiltoniano $X_{H}=\omega^{-1}(dH,.):T^{*}{\cal{M}}\rightarrow \mathbb{R}$ .

Consideremos ahora las coordenadas $(q_{1},..,q_{n})$ en $Q$ . Este conjunto de coordenadas da lugar a un conjunto natural de coordenadas $(q_{1},..,q_{n};p_{1},..,p_{n})$ en ${\cal{M}}$ tomando $(p_{1},..,p_{n})$ ser las componentes de los vectores cotangentes en la base de coordenadas asociadas con $(q_{1},..,q_{n})$ .

La forma simpléctica entonces toma la forma $\omega=\sum_{\mu}dp_{\mu}\wedge dq_{\mu}$ y la inversa toma la forma $\omega^{-1}=\sum_{\mu}(\frac{\partial}{\partial q}_{\mu})\otimes (\frac{\partial}{\partial p}_{\mu})-(\frac{\partial}{\partial p}_{\mu})\otimes (\frac{\partial}{\partial q}_{\mu})$ .

Entonces el campo vectorial hamiltoniano se denota por: $X_{h}=\sum_{\mu}(\frac{\partial H}{\partial q}_{\mu})\otimes (\frac{\partial}{\partial p}_{\mu})-(\frac{\partial H}{\partial p}_{\mu})\otimes (\frac{\partial}{\partial q_{\mu}})$ .

Si considera ahora una curva integral de este campo vectorial, lo que significa que la curva $\alpha:\mathbb{R}\rightarrow {\cal{M}}$ satisface $\frac{d \alpha}{dt}=X_{h}$

Obtenemos

\frac{d q_{m}}{d t} = \frac{\partial H}{\partial {pags}_{m}} \frac{d {pags}_{m}}{d t} = - \frac{\partial H}{\partial q_{m}}

$\frac{dq_{\mu}}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_{\mu}}\\ \frac{dp_{\mu}}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\mu}}$

que son la ecuación de Hamilton.

Además, podemos definir el paréntesis de Poisson de dos observables clásicos como $\{f,g\}=\omega^{-1}(df,dg)$ que satisface las coordenadas $\{q_{\mu},q_{\nu}\}=0,\{p_{\mu},p_{\nu}\}=0,\{q_{\mu},p_{\nu}\}=\delta_{\nu\mu}$ . Como puede ver, estas relaciones son similares a los observables en QM. De hecho, hay muchos procedimientos de cuantización de las teorías clásicas donde este es el punto de partida.

Finalmente puedes definir la acción clásica cuando el hamiltoniano no depende del tiempo como $S=\int\theta$ con la integral entendida como tomada sobre la variedad definida manteniendo la energía $E$ constante: $H=E=$ constante

Aquí hay dos imágenes que pueden ayudar de The Road of reality de Roger Penrose: Espacio de fase flujo hamiltoniano

Las curvas que tienen como vectores tangentes el flujo hamiltoniano son las soluciones a las ecuaciones de movimiento del sistema.

Gracias por la respuesta, pero contiene casi todo lo que ya sé (excepto la acción que has definido al final). Tal vez estoy siendo demasiado exigente. De todos modos, por su respuesta no queda claro si la existencia de una forma simpléctica en $T^{*}Q$ es la única utilidad en cambiar el lagrangiano al hamiltoniano. ¿Por qué la mecánica hamiltoniana? ¿Cuál es el problema con la mecánica lagrangiana (casi todo en la teoría cuántica de campos está definido por un lagrangiano)?
La utilidad para cambiar a la mecánica hamiltoniana es la existencia de una estructura de Poisson que utiliza la estructura simpléctica. Como comento, este es el punto de partida para los procedimientos de cuantización. No hay problema con la mecánica lagrangiana, pero tampoco hay problema con la mecánica hamiltoniana. Tenga en cuenta también que al duplicar las variables para $(q,p)$ las ecuaciones ahora son de primer orden, por lo que, por ejemplo, para resolver problemas específicos, puede usar técnicas de la teoría de semigrupos. Al mismo tiempo, el hamiltoniano tiene una interpretación física directa como la energía (bajo ciertas condiciones).
Habiendo dicho eso, debo confesar que en realidad hay algunos problemas en el enfoque hamiltoniano como se indica aquí philsci-archive.pitt.edu/4916 también considere la respuesta a physics.stackexchange.com/q/89035

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Cristóbal

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