¿Es la relatividad especial compatible con el Principio de Equivalencia de Einstein (EEP)?

A las personas que aprenden relatividad especial se les dice con demasiada frecuencia que es solo una teoría que funciona para marcos inerciales. Esto no es cierto . La Relatividad Especial es simplemente una teoría gravitacional en el espacio plano.

Déjame aclarar.

(Los siguientes párrafos se dan para personas que recién están aprendiendo relatividad y pueden omitirse para aquellos que estén familiarizados con el formalismo de cuatro vectores).

La esencia de la relatividad especial es la definición de la medida del tiempo propio invariante de Lorentz . Para dos eventos separados por un tiempo$\Delta t$y un desplazamiento espacial$\Delta\textbf{x}$, definimos

$$\Delta\tau^2=\Delta t^2-\Delta\textbf{x}^2$$

En unidades donde$c=1$. Para comprobar que esto es Lorentz-Invariante, un pulso de luz también tendrá$\Delta t=|\Delta\textbf{x}|$, y entonces$\Delta\tau=0$. Bajo las transformaciones de Lorentz, dado que la velocidad de la luz se mantiene constante, esta es invariante. La invariancia para otras velocidades se puede comprobar fácilmente.

La interpretación geométrica de esta invariancia está en el corazón de SR y GR. Si definimos un cuatro vector como un objeto vectorial,$x^{\mu}$, con cuatro componentes ($\mu=0,1,2,3$) tal que$x^0=t$,$x^1=x$,$x^2=y$, y$x^3=z$. Entonces la forma infinitesimal del tiempo propio viene dada por

$$\mathrm{d}\tau^2=\eta_{\mu\nu}\,\mathrm{d}x^{\mu}\,\mathrm{d}x^{\nu}$$

Dónde$\mu$y$\nu$se suman implícitamente y$\eta$es una matriz con elementos

$$\eta=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$$

Este es un ejemplo de lo que llamamos un tensor métrico . Por ahora no es demasiado importante entender la geometría del tensor métrico, solo piensa en él como la matriz que calcula la "distancia" entre dos objetos.

Tenga en cuenta, sin embargo, lo que sucede cuando cambiamos las coordenadas$x^{\mu}\to\xi^{\mu}$, donde el$\xi$coordenadas dependen arbitrariamente de la$x$coordenadas Tenemos

$$\mathrm{d}\tau^2=\eta_{\mu\nu}\left(\frac{\partial x^{\mu}}{\partial\xi^{\rho}}\mathrm{d}\xi^{\rho}\right)\left(\frac{\partial x^{\nu}}{\partial\xi^{\sigma}}\mathrm{d}\xi^{\sigma}\right)\equiv g_{\rho\sigma}(\xi)\mathrm{d}\xi^{\rho}\mathrm{d}\xi^{\sigma}$$

Donde hemos definido una nueva bestia,$g(\xi)$, que ahora es un tensor métrico que depende de la posición en el espacio-tiempo. Este es el objeto fundamental en GR (¡aunque no estemos haciendo GR!).

Vamos a calcular un ejemplo de esto. En coordenadas esféricas tenemos$t=t$,$x=r\cos{\phi}\sin{\theta}$,$y=r\sin{\phi}\sin{\theta}$, y$z=r\cos{\theta}$. Transformando las coordenadas, tenemos

$$\mathrm{d}\tau^2=\mathrm{d}t^2-\mathrm{d}r^2-r^2\left(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2{\theta}\mathrm{d}\phi^2\right)$$

¡Los coeficientes de los cambios de coordenadas diferenciales dependen de la posición!

Hay otro ejemplo (que es más relevante para lo que desea), llamado coordenadas de Rindler , en el que el elemento de tiempo adecuado se proporciona como

$$\mathrm{d}\tau^2=a^2x^2\mathrm{d}t^2-\mathrm{d}\textbf{x}^2$$

Aunque no es obvio, estas coordenadas describen una aceleración constante$a$en el$x$dirección, y están relacionados con el marco intertial por las transformaciones

$$t\to\frac{1}{a}\text{arctan}\left(\frac{t}{x}\right),\hspace{0.5cm}x\to\sqrt{x^2-t^2},\hspace{0.5cm}y\to y,\hspace{0.5cm}z\to z$$

Dado que existe una transformación de coordenadas que relaciona este marco acelerado con un marco plano, es perfectamente compatible con la relatividad especial.

De acuerdo, esto es mucho hablar sobre la Relatividad Especial sin mencionar cómo se relaciona con la Relatividad General. La idea básica es que en la Relatividad General no existe necesariamente una transformación que tome el tensor métrico$g$a la métrica plana$\eta$en cada punto Sin embargo, permite una transformación en cualquier punto$X$tal que$g(X)=\eta$y$\partial_{\mu}g(X)=0$(aquí,$\partial_{\mu}=\partial/\partial x^{\mu}$). Esto es lo que realmente dice el principio de equivalencia .

Cerca de un cuerpo gravitacional, el tensor métrico viene dado aproximadamente por una métrica de Rindler (esto es exactamente lo mismo que decir que cerca de un cuerpo gravitacional podemos aproximar el campo como una aceleración constante). Dado que hay una transformación de Rindler a coordenadas planas, tenemos que hay un conjunto de coordenadas (es decir, coordenadas de caída libre) tales que un campo gravitacional parece localmente inercial.

Me he tomado mucho tiempo para explicarte por qué funciona el principio de equivalencia. Ese fue un desvío muy largo, así que ahora vayamos al corazón de su pregunta: la propagación de la luz en un marco acelerado frente a un campo gravitatorio.

Responderé primero a la última parte de tu pregunta. Los resultados habrían sido idénticos si el pulso láser para el observador acelerado se hubiera creado dentro del compartimento o fuera de él, en lo que se refiere a los intervalos entre emisión y absorción.

En cuanto a la primera parte de su pregunta: considera un escenario en el que se libera periódicamente un pulso de un láser y mide su camino. En este sistema de coordenadas, la trayectoria en sí es independiente del tiempo. Sin embargo, en el marco inercial, dado que el propio láser se está moviendo, el punto en el que aterriza el pulso depende claramente del tiempo. El compartimento no solo se mueve, sino que se contrae más y más cuanto más rápido va. La interpretación de que el observador inercial ve que el compartimento va cada vez más rápido mientras se acorta cada vez más, de modo que el pulso siempre se golpea en el mismo punto del compartimento.

Espero que esto sea útil. Si algo no está claro (como suele ser en problemas como este), ¡no dude en hacer preguntas!