Aplicando el principio de equivalencia a un marco acelerado

Tus transformaciones de coordenadas son incorrectas. Obviamente están equivocados porque para lo suficientemente grande$t$la velocidad excederá la velocidad de la luz. Las transformaciones son en realidad:

$$\begin{cases} t'=\frac{1}{a}\sinh at \\ x'=\frac{1}{a}\cosh at \\ y'=y \\ z'=z \end{cases}$$

Estas se conocen como las coordenadas de Rindler y dan la geometría del espacio-tiempo para un observador con aceleración constante.$a$en el$x$dirección. La geometría se describe mediante la métrica de Rindler:

$$ds^2 = -\left(1 + \frac{a}{c^2}x \right)^2 c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

Si toma esta métrica y calcula el tensor de Riemann, encontrará que sale cero, tal como lo hace con la métrica de Minkowski. Hablo por experiencia, habiendo hecho exactamente este cálculo para convencerme de que era cierto :-)

Un observador puede medir su propia aceleración midiendo su aceleración relativa a un objeto en caída libre. Tenga en cuenta que esta es una medición local, es decir, se realiza en la posición del observador. Si toma la métrica de Rindler y calcula la aceleración adecuada a partir de ella, el resultado es como$a$, así que es solo la aceleración con la que comenzamos.

El principio de equivalencia nos dice que el observador no puede saber si su propia aceleración se debe a la gravedad o al movimiento. Por ejemplo, un observador en un campo gravitatorio, por ejemplo, yo sentado aquí en la superficie de la Tierra, también puede calcular una aceleración adecuada. Si está interesado, este cálculo se describe en ¿ Qué es la ecuación del peso a través de la relatividad general? .

Para entrar un poco más en detalle, la aceleración adecuada es la norma de las cuatro aceleraciones, y las cuatro aceleraciones vienen dadas por:

$$A^\alpha = \frac{d^2x^\alpha}{d\tau^2} + \Gamma^\alpha_{\,\,\mu\nu}U^\mu U^\nu$$

Hay dos partes en esto. La primera parte$d^2x^\alpha/d\tau^2$es solo la aceleración de coordenadas como en la mecánica newtoniana, es decir, cómo cambia su posición con el tiempo. La segunda parte$\Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}U^\mu U^\nu$se debe a la curvatura de las coordenadas. los simbolos$\Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}$son los símbolos de Christoffel y nos hablan de la curvatura en nuestro sistema de coordenadas.

Toma tu ejemplo de un observador que acelera y supón que yo soy un observador inercial que te observa acelerar. En mis coordenadas, el espacio-tiempo es plano, por lo que los símbolos de Christoffel son todos cero, pero veo que tu posición cambia. Así que calculo que tu cuatro aceleraciones es:

$$A^\alpha{}_\text{me} = \frac{d^2x^\alpha}{d\tau^2} + 0$$

En sus coordenadas, está estacionario en el origen, por lo que sus coordenadas no cambian, pero los símbolos de Christoffel ahora no son cero, por lo que calcula que su cuatro aceleraciones es:

$$A^\alpha{}_\text{you} = 0 + \Gamma^\alpha_{\,\,\mu\nu}U^\mu U^\nu$$

El cálculo se ve diferente para nosotros dos, pero cuando tomamos la norma de cuatro aceleraciones, ambos obtenemos la misma respuesta de$a$. Entonces te consideras que estás en un campo gravitacional con aceleración gravitacional$a$mientras considero que estás en un espacio-tiempo plano con una aceleración inercial$a$.

No, no es necesario modificarla, es una buena pregunta y casi tienes razón.

Véase, por ejemplo, el artículo de Wikipedia sobre la aceleración adecuada . En un laboratorio lo suficientemente pequeño, no se puede saber si está constantemente acelerado o en un campo gravitatorio. Si el laboratorio es más grande, en cierto tamaño comenzarás a ver fuerzas de marea de la gravedad, que es diferente a la aceleración constante. En el artículo se habla de que la aceleración real es la aceleración con un marco de referencia en caída libre.

El hecho es que hay un tensor de curvatura distinto de cero si hay fuerzas de marea. De otro modo no. La aceleración directa tiene el mismo efecto que un campo gravitatorio constante.

En segundo lugar, hay un marco de coordenadas conocido como rueda para un 'observador acelerado', en el sentido en que lo quiso decir, es decir, un marco de referencia acelerado en el espacio-tiempo de Minkowski. De hecho, debido a la limitación de c, en ese marco de referencia (es decir, si fueras un observador constantemente acelerado), solo puedes ver una parte del espacio-tiempo, es decir, hay un horizonte. El marco de coordenadas se llama coordenadas de Rindler. El observador en reposo en ese sistema de coordenadas, es decir, constantemente acelerado en el espacio-tiempo de Minkowski, ve la radiación procedente del horizonte. La ecuación es similar a la radiación de Hawking del horizonte de un agujero negro. De hecho, la geometría cerca y fuera del horizonte de un agujero negro, con un observador y un observador en reposo en ese marco, puede aproximarse mediante las coordenadas de Rindler. Esto es bastante sorprendente y es otro ejemplo de cómo el principio de equivalencia lo hace bien, si lo interpretas correctamente. Para más verel artículo de Wikipedia sobre las coordenadas de Rindler .