Duda tonta sobre los efectos de marea y las ecuaciones de campo de Einstein

Supongamos que le doy el siguiente elemento de línea:

Sin decir nada, podrías pensar que este es solo otro elemento de línea como un elemento de línea en coordenadas esféricas; podría pensar que solo realizo otra transformación de coordenadas en un sistema que está dotado de un gráfico particular en la variedad$(M,g)$.

Pero, si te digo que$(1)$elemento de línea describe la gravedad newtoniana y, además, que los símbolos$\phi$son precisamente el potencial newtoniano de la gravedad, entonces usted podría preguntarse: "¿por qué?" Yo te daría la siguiente explicación:

El movimiento de una partícula en caída libre en un espacio-tiempo curvo viene dado por el siguiente cálculo de la derivada absoluta o intrínseca :

$$p^{b}\nabla_{b}p^{a} = p^{b}(\partial_{b}p^{a} + \Gamma ^{a}_{cb}p^{c})$$ Si considera el elemento de línea de$(1)$y velocidades no relativistas, entonces la ecuación de movimiento se reduce a (componentes espaciales): $$p^{b}\nabla_{b}p^{a} = m\frac{d}{d\tau}p^{i} + \Gamma ^{i}_{00}(p^{0})^{2}$$ Que, después de los cálculos se reduce a: $$\frac{dp^{i}}{d\tau} = -m \delta^{ij}\partial _{j}\phi = -m\partial _{i}\phi$$ Ahora, considerando que estamos en un régimen de bajas velocidades, entonces la Ecuación de Newton es válida: $$F^{i} = -m(\nabla \phi_{g})^{i}$$ Entonces, dado que también es válido, por relatividad especial, que: $$F^{i} = \frac{dp^{i}}{d\tau}$$ Entonces, $$-m(\nabla \phi_{g})^{i} = \frac{dp^{i}}{d\tau} = -m\partial _{i}\phi$$ Implica que $$\phi = \phi_{g}$$ Y el elemento de línea describe la gravedad newtoniana, de hecho.

Ahora, dada una explicación razonable de que$\phi = \phi_{g}$, se podría decir, también, que por principio de equivalencia$(1)$también describe, en una región local, una forma relativista de la gravedad.

Pero aquí viene mi duda, se que la desviación geodésica te da el tensor de Riemann, y para la métrica$(1)$puede concluir que la cantidad general que codifica la noción de "gravedad como curvatura" es altamente sugerida por el tensor de Ricci, porque la siguiente expresión le da una forma de hablar sobre los efectos de marea:

$$a^{\mu}=\frac{D^{2} \delta x^{\mu}}{D\tau^{2}} = R^{\mu}_{\nu \gamma \beta} u^{\nu}u^{\gamma} \delta x^{\beta} \implies a^{i} = -c^{2}R^{i}_{0j0}\delta x^{j}$$

Dónde$a^{\mu}=\frac{D^{2} \delta x^{\mu}}{D\tau^{2}}$se llama aceleración entre geodésicas, dada por la desviación geodésica .

Y ahora, la duda: ¿Por qué los efectos de las mareas no son locales? Dado que podemos describir los efectos de las mareas con el elemento de línea de$(1)$por

$$a^{i} = -c^{2}R^{i}_{0j0}\delta x^{j} = -\frac{1}{c^{2}}\partial^{k} \partial_{k}\phi_{g}$$