¿Es la masa un observable en Mecánica Cuántica?

En la mecánica cuántica no relativista, la masa puede, en principio, considerarse un observable y, por lo tanto, describirse mediante un operador autoadjunto.

En este sentido, un sistema físico cuántico puede tener varios valores diferentes de la masa y un valor se fija tan pronto como se realiza una medición de la masa observable, exactamente como sucede con el momento, por ejemplo.

Sin embargo, es posible probar que, como el sistema físico es invariante bajo el grupo galileano (o el grupo galileano como prefiera), surge una regla de superselección , la conocida regla de superselección de masas de Bargmann . Significa que están prohibidas las superposiciones coherentes de estados puros con diferentes valores de la masa.

Por lo tanto, toda la descripción del sistema siempre está confinada en un espacio propio fijo del operador de masa (en particular porque todos los observables restantes, incluido el hamiltoniano, conmutan con el operador de masa).

En la práctica, la masa del sistema se comporta como un parámetro fijo no cuántico. Esta es la razón, salvo tecnicismos sutiles (no separabilidad del espacio de Hilbert si el espectro del operador de masa es continuo), por la que la masa puede considerarse un parámetro fijo en lugar de un operador autoadjunto en la mecánica cuántica no relativista.

En la mecánica cuántica relativista el panorama es bastante diferente. En primer lugar, hay que distinguir entre sistemas elementales (partículas elementales libres según la definición de Wigner) y sistemas compuestos (que interactúan). Los primeros se definen como representaciones unitarias irreductibles (fuertemente continuas) del grupo de Poincaré . Cada representación de este tipo se identifica mediante un conjunto de números que definen los valores propios de algunos observables que alcanzan valores constantes en la representación debido al requisito de irreductibilidad. La naturaleza de estos números depende de la estructura del grupo que se esté considerando.

Cada uno de estos observables, en el espacio irreducible de Hilbert del sistema, tiene la forma$\lambda I$dónde$\lambda$es un número real fijo. Haciendo referencia al grupo de Poincaré, el operador de masa resulta ser uno de estos observables elementales . Por lo tanto, en la mecánica cuántica relativista, los sistemas elementales deben tener el operador de masa trivial, que como antes, puede considerarse como un parámetro fijo, no cuántico.

La imagen cambia dramáticamente si uno se enfoca en sistemas compuestos: allí la masa es simplemente el operador de energía evaluado en el marco de reposo del sistema. Generalmente muestra un espectro mixto formado por una parte continua, debido a la energía cinética "relativa" y, debajo de ella, un espectro puntual que describe las posibles masas del sistema total.

ANEXO . Como me señaló Arnold Neumaier, los neutrinos parecen tener valores de masa no fijos (es decir, el operador de masa no es trivial) en vista de la presencia de la interacción débil. En mi opinión, es discutible si pueden considerarse partículas elementales ya que incluyen interacción débil en su descripción. Seguramente son elementales desde un punto de vista puramente físico. Tal vez la descripción de Wigner sea físicamente inapropiada.

Mass-squared es un operador lineal hermitiano, es un operador de Casimir$\hat{C}_{1}=\hat{P}_{0}\hat{P}_{0}-\hat{P}_{i}\hat{P}_{i}$para el grupo Poincaré. Es hermitiano porque los generadores de traducción$\hat{P}_{\mu}$son hermitianos. Conmuta con todos los generadores del grupo de Poincaré, por lo que sus valores propios (masa al cuadrado) son constantes en cada subespacio irreducible.

Por supuesto, la masa es un observable, aunque en modelos simples es constante.

Este ya es el caso clásicamente. No se puede determinar la trayectoria de un cohete que quema combustible (que forma una gran fracción de su masa) sin tener en cuenta que la masa es variable.

Lo mismo ocurre con la mecánica cuántica, siempre que la masa no esté fijada por las suposiciones del modelo. Caso importante donde la masa está dada por un operador no trivial M (entonces llamado matriz de masa) son

• el operador de masa de una partícula relativista en un campo externo. Sus valores propios son las masas de los estados ligados.

• la matriz de masas de quarks Cabibbo-Kobayashi-Maskawa http://arxiv.org/abs/hep-ph/9708216

• la matriz de masas de neutrinos http://arxiv.org/abs/hep-ph/9802328

Por otro lado, si la masa es una constante m, también se representa mediante un operador, a saber, M:=m*1, donde 1 es la matriz identidad. Este es un operador hermitiano, por lo que se ajusta a la descripción estándar.

Véase también http://www.physicsoverflow.org/21958/

Simplemente complementaré la respuesta del Prof. Kalitvianski agregando que el mantra "observables como operadores" solo se aplica al tipo especial de medición llamada "medida cuántica", que siempre implica amplificación. Otros tipos de medidas, como la medida de constantes físicas, tampoco están modeladas por observables, como la velocidad de la luz, la masa del electrón, la carga de un electrón, etc.

El ganador del premio Nobel Eugene Wigner escribió artículos muy cuidadosos sobre la teoría de la medición, aunque muchos la consideran superada hoy en día, siguen siendo una excelente base para comprender las teorías más modernas. Se han reimpreso en la colección de ensayos científicos suyos muy legibles, Simetrías y reflexiones .

Por un lado, en QM no relativista la masa es un parámetro numérico en una construcción teórica, por lo que no hay necesidad de un operador adicional durante la transición de CM a QM.

Por otro lado, en QM relativista la energía es un operador que reduce a masa (energía en reposo) en un caso particular$\vec{p}=0$. Normalmente la energía de una partícula libre tiene un espectro continuo (no cuantificado, ni calculado), por lo que no deja de ser un parámetro externo a la teoría para una partícula libre "elemental".

En el caso de un sistema compuesto, la masa en reposo se puede (en principio) calcular a partir de las masas y las fuerzas de interacción de sus constituyentes.

Porque se supone que la masa es una cantidad que debe permanecer constante por toda la eternidad en la mecánica cuántica. La masa es energía en el marco de reposo de la partícula. La razón por la que no ve esto en la mecánica cuántica no relativista es que puede agregar una constante arbitraria al hamiltoniano. En la mecánica cuántica relativista, esa compensación se fija con la energía de la masa en reposo convirtiéndose en una cantidad significativa e importante. Todas las funciones de onda toman la frecuencia de Compton a sus factores de fase.

Por lo tanto, el operador de energía es el operador de masa, por lo que la masa es un observable, pero matemáticamente se considera como una constante y su operador es el de energía.

Y una cosa más; la matriz de masa de neutrino no es un operador: es una matriz en el espacio tridimensional de sabores (electrón, muón, tau), no en el espacio de Hilbert de los estados de neutrinos.