¿Por qué la inversa de la matriz ortogonal es su transpuesta?

Así que la pregunta está en el título. Es fácil de probar cuando sabemos que hay números reales y el producto escalar es estándar. Pero, ¿por qué funciona esto en el caso general, cuando hay números complejos adentro y el producto escalar es otra cosa?

¿Cómo definiste matriz ortogonal?
Una matriz cuadrada con base ortonormal de R norte o C norte adentro
ortonormal con respecto a qué producto interno?
Por cierto para el número complejo
A − 1 = A ∗ .
Entonces, si calculas A A ∗ , ¿puede 1) Ver cada entrada en el producto como un producto interno de una fila/columna? 2) mostrar que A A ∗ es I ?
@OfirSchnabel Tengo un producto interno definido como una función de vectores para los cuales las siguientes declaraciones son verdaderas: < X , a y 1 + b y 2 >= a < X , y 1 > + b < X , y 2 > para escalares a,b; < X , y >= C o norte j tu gramo a t mi o F < y , X > y si X ≠ 0 entonces < X , X >> 0
por tu definición R i ⋅ C j ¯ = 0 para cualquier i ≠ j y si i = j entonces R i ⋅ C j ¯ = 1 para R -filas de A y C -columnas de A t . Por eso A A ∗ = I
en realidad no lo es: [[2,0][0,2]]es ortogonal pero su inversa es [[0.5,0][0,0.5]]. creo que te refieres a ortonormal

Respuestas (4)

Dejar C i el i el columna de la matriz ortogonal O entonces nosotros tenemos

⟨ C i , C j ⟩ = d i j
y tenemos
O T = ( C 1 ⋯ C norte ) T = ( C 1 T ⋯ C norte T )
entonces obtenemos

O T O = ( ⟨ C i , C j ⟩ ) 1 ≤ i , j ≤ norte = I norte

En mi humilde opinión, esto no es lo suficientemente general para la pregunta de los OP. (Publiqué una respuesta y la eliminé después de volver a leer la pregunta). ⟨ C i , C j ⟩ = d i j para una matriz ortogonal en general no es cierto. (Nota OP incluida "cuando el producto punto es otra cosa").
Estoy de acuerdo. ¿Esta prueba no supone que el producto escalar es X T y ? Pregunté por qué la declaración es válida en el caso general, por ejemplo, si hay números complejos dentro de la matriz, el producto escalar se puede definir como X H y y luego no es igual X T y . ¿Tengo razón?
Con el campo de los números complejos, la matriz sobre la que pregunta se llama matriz unitaria, no matriz ortogonal y la prueba es generalmente la misma. @qiubit

A es otogonal significa A'A = I. ¡Eso dice que A' es el inverso de A!

Lo siento, pero mi definición de matriz ortogonal es diferente
@qiubit: Una vez que te das cuenta de que el i , j elemento de la matriz A ′ A es el producto interior de las columnas i y j de A , debes darte cuenta de que A ′ A = I es una definición equivalente de una matriz ortogonal.
¿No es cierto SÓLO si el producto escalar se define como X T y ?

Representa tu matriz ortogonal O como elemento del Grupo de Lie de Matrices Ortogonales . Usted obtiene:

O = Exp ⁡ ( Ω ) ,
dónde Exp significa la matriz exponencial y Ω es un elemento del Álgebra de Lie correspondiente, que es asimétricamente simétrica, es decir Ω T = − Ω . Ahora transpóngalo para obtener:
O T = Exp ⁡ ( Ω ) T = Exp ⁡ ( Ω T ) = Exp ⁡ ( − Ω ) ,
que es el inverso de O : Desde Ω y − Ω viajar , es decir [ Ω , − Ω ] − = 0 podemos escribir
O T O = Exp ⁡ ( − Ω ) Exp ⁡ ( Ω ) = Exp ⁡ ( − Ω + Ω ) = Exp ⁡ ( 0 ) = 1

El mapa exponencial no es sobreyectivo en el grupo ortogonal completo.

ΩT=−Ω. Ahora transpóngalo para obtener: OT=exp(Ω)T=exp(ΩT)=exp(−Ω), que es el inverso de O: Dado que Ω y −Ω se conmutan, es decir, [Ω,−Ω]−=0 puede escribir OTO=exp(−Ω)exp(Ω)=exp(−Ω+Ω)=exp(0)+ 0+1 -1 transponer 1+0 +Y -X +0=1

¿Por qué la inversa de la matriz ortogonal es su transpuesta?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v