Si xTATAx=xTxxTATAx=xTxx^{T}A^{T}Ax = x^Tx se cumple para cada xxx, entonces ATA=InATA=InA^{T} A = I_n [cerrado]

Dado A ∈ R norte × norte , si

( ∀ X ∈ R norte ) ( X T A T A X = X T X )
como concluir que A T A = I norte ?

Agradezco cualquier ayuda!

Creo que si existe al menos uno y tal que y T A T A y ≠ y T y , entonces A T A no puede ser la matriz identidad. Si debe ser válido para todos X , en ese caso la demostración es fácil.
@RodrigodeAzevedo sí, estoy de acuerdo con las ediciones, pero ¿por qué tenemos que mostrar que es 0?
Confía en mí. Hazlo. Luego tenga en cuenta que la parte simétrica oblicua de una matriz no contribuye en nada a una forma cuadrática.
@RodrigodeAzevedo Lo tengo, muchas gracias!!!!

Respuestas (2)

Presumiblemente, el campo subyacente es real. Basta probar la afirmación más fuerte de que si S es una matriz simétrica y X T S X es idénticamente cero, entonces S = 0 . Para probar esto, pon X = v + S v para algún vector arbitrario v .

Creo que entiendo un poco lo que dices, ¿quieres decir que, dado que x no es cero, la única solución es S = 0?
@busyyyy No. El punto es mostrar que S v = 0 para todos v . eso es lo que S = 0 medio.
¡Entendido, gracias!

Enfoque ligeramente diferente (en la etapa final de prueba).
Tenemos

( ∀ X ∈ R norte ) ( X T ( A T A − I ) X = 0 )

S = A T A − I es obviamente simétrico, por lo tanto, es diagonalizable.

La ecuación anterior debe cumplirse también para cualquier vector propio v de S . es decir v T S v = 0 = v T λ v ,
por lo tanto cada valor propio λ de S es cero y su forma diagonal debe ser matriz cero lo que significa S es la propia matriz cero.

Si xTATAx=xTxxTATAx=xTxx^{T}A^{T}Ax = x^Tx se cumple para cada xxx, entonces ATA=InATA=InA^{T} A = I_n [cerrado]
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