¿Es esta una representación de cuaterniones de las ecuaciones de movimiento de la Relatividad General?

Esta ecuación es la ecuación geodésica en las coordenadas cuaterniónicas, donde$u$es el vector de cuatro velocidades.

Te daré una derivación de esta ecuación en el formalismo local de Lorentz más familiar y luego estableceré la equivalencia.

Dado un marco de vielbeins$e_a = e^{\mu}_a \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$. La ecuación geodésica es simplemente la afirmación de que las cuatro velocidades$v = v^a e_a$es un invariante:

$dv= 0$

Escribiendo esta ecuación en componentes, obtenemos:

$dv^a + \omega^a_b v^b = 0$

dónde:$e^b$son los vielbeins inversos y$\omega^a_b = \omega^a_{\mu b} dx^{\mu}$es la conexión de espín una forma definida por:

$de_b = \omega^b_c e_c$

La ecuación geodésica se puede escribir en la representación de coordenadas habitual sustituyendo:

$v^a = v^{\mu} e_{\mu}^a$

y usando la condición libre de torsión:

$\partial_{ \mu} e_{\nu}^a + \omega_{\mu b}^a e_{\nu}^a - \Gamma_{\mu \nu}^{\lambda} e_{\lambda}^a = 0$

Ahora, habiendo establecido que el invariante del vector de cuatro velocidades da la ecuación geodésica, todavía hay otra representación de la misma ecuación a lo largo del siguiente principio:

Existe una transformación de Lorentz local (puede ser singular), que se transforma en el sistema de reposo de partículas, es decir, existe

$v\prime^a = \Lambda^a_b(x) v^a$

tal que

$dv\prime^a = 0$(En cuanto a los componentes, esta ecuación solo significa que los componentes de la velocidad en el marco de reposo son constantes).

Usando las dos ecuaciones anteriores, vemos que localmente:

$\omega^a_b = d\Lambda_a^c \Lambda_c^b$

Sustituyendo esta ecuación en la primera versión de la ecuación geodésica, obtenemos:

$dv^a + d\Lambda_a^c \Lambda_c^b v^b = 0$

Esta ecuación es solo la versión vectorial de la ecuación geodésica del artículo.

El lado derecho se compone de una transformación de Lorentz local finita seguida de una infinitesimal como en la representación cuaterniónica.

En resumen, esta forma de la ecuación geodésica se basa en los siguientes dos principios:

1. En relatividad general, la velocidad de cuatro es un invariante.

2. Existe un marco de Lorentz local en el que todas las componentes de velocidad son constantes.