¿La relatividad general se basa en una simetría?

En resumen: ¿hay algún tipo de simetría con la que se pueda empezar a derivar la relatividad general (GR)?

Más largo: Einstein tenía la opinión de que GR era la generalización de la relatividad especial, porque en lugar de marcos inerciales, todos los marcos están permitidos por igual en GR. Esto se denomina comúnmente covarianza general. Desafortunadamente, poco después se descubrió que esto era incorrecto, porque cada teoría se puede escribir de manera covariante general y, por lo tanto, esta no puede ser la característica definitoria de la relatividad general.

1) En analogía con SR, se puede buscar el grupo que deja una métrica dada (= una solución de la ecuación de Einstien), que describe una situación dada, invariante. Estos se denominan grupos Killing y solo son válidos para una situación determinada. Para la métrica de Minkowski se encuentra el grupo de Poincaré (=el grupo de simetría de la relatividad especial) y por ejemplo, para la métrica de Schwarzschild, el grupo Killing correspondiente es un subgrupo del grupo de Poincaré (Ver http://en.wikipedia.org/ wiki/Schwarzschild_metric#Symmetries ). Sin embargo, si uno busca el grupo de simetría que deja invariante una solución general de la ecuación de Einstein (una métrica general), encuentra que este grupo contiene solo la transformación de identidad.

2) Alternativamente, existe el enfoque de Anderson, que permite distinguir entre covarianza e invariancia, al introducir la noción de objetos dinámicos y absolutos de una teoría dada. El grupo de covarianza deja invariante el espacio de los modelos permitidos cinemáticamente, mientras que el grupo de invariancia es un subgrupo del grupo de covarianza que deja invariantes los objetos absolutos de la teoría . De esta manera es posible precisar lo que distingue a la relatividad general de todas las demás teorías:

Un objeto absoluto de la relatividad especial es la métrica de Minkowski y el grupo de invariancia correspondiente es el grupo de Poincaré. En la formulación estándar, el grupo de covarianza correspondiente también es el grupo de Poincaré. Sin embargo, es posible reescribir las ecuaciones de SR, de tal manera que la teoría se vuelve covariante general, es decir: el grupo de covarianza se vuelve D i F F ( METRO ) , el grupo de todos los difeomorfismos. Por lo tanto, lo que importa es el grupo de invariancia.

Ahora, GR es la teoría con grupo de invariancia D i F F ( METRO ) , es decir, todo difeomorfismo deja invariantes los objetos absolutos de la teoría. Esto podría verse como la característica definitoria de GR. El siguiente paso sería preguntar: ¿Cuáles son los objetos absolutos de GR? Respuesta: GR no tiene objetos absolutos. Por lo tanto, no es de extrañar que todos los difeomorfismos dejen invariantes los objetos absolutos.

Los dos posibles conceptos de simetría descritos anteriormente son aquellos con los que me topé la mayor parte del tiempo buscando simetría y GR. Desafortunadamente, ambos no parecen ser útiles para significar en la búsqueda de la característica definitoria de GR. GR, según tengo entendido y tal como se presenta en los libros que leo, no se basa en algún tipo de simetría o idea de simetría, sino que es el resultado de la idea gravedad = curvatura del espacio-tiempo (+ ¿principio de equivalencia?). Esto está en marcado contraste con todas las demás teorías fundamentales de la física, que se basan en la simetría sin excepción.

¿Hay algún tipo, quizás en un sentido más amplio, de idea de simetría en la que se basa la Relatividad General? ¡Cualquier idea o sugerencia sería genial!

No es cierto que GR no tenga objetos absolutos en tu sentido. Para cualquier variedad pseudo-riemanniana, Élie Cartan demostró que es posible formar un conjunto completo de invariantes escalares de clasificación a partir de los componentes del marco del tensor de Riemann y sus derivados covariantes. Una de esas invariantes es el escalar de curvatura R . Con algunos refinamientos del método, se puede formular un algoritmo práctico: en.wikipedia.org/wiki/Cartan%E2%80%93Karlhede_algorithm Hay mucha literatura sobre esto, y es bastante fácil de hacer con programas de álgebra computacional.
Por cierto, GR no es "la" teoría invariante bajo difeos. Todas las teorías covariantes son invariantes bajo difeos, en particular todas las teorías topológicas lo son.
@UrsSchreiber: Esto no es cierto. La mecánica newtoniana es covariante bajo el grupo de rotaciones espaciales + t′=t pero no covariante bajo difeomorfismos generales. por ejemplo, tomar X → X ′ = X + a t 3 ; t → t ′ = t que tiene un jacobiano que no se desvanece pero la mecánica de Newton no es invariante de forma bajo esta transformación
bah, teorías "generalmente covariantes".

Respuestas (1)

D. Hilbert derivó las (igual que las de Einstein) ecuaciones de la relatividad general exigiendo la invariancia (forma de simetría) de la acción de Einstein-Hilbert bajo transformaciones de coordenadas diferenciables generales, es decir, difeomorfismos

Así que esta es la simetría asociada con la Relatividad General, también conocida como covarianza general .

ACTUALIZAR:

Tenga en cuenta que todos los invariantes de GR (por ejemplo, el escalar de curvatura R ) son absolutos en este sentido (como invariantes).

Por ejemplo, las transformaciones de simetría, la acción de Einstein-Hilbert y la invariancia de calibre

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