¿Cómo se escribe un espacio tridimensional de De Sitter como el cociente SL(2,C)/SL(2,R)SL(2,C)/SL(2,R)SL(2, C)/SL(2, R)?

Dejar$\mathbb{R}^{1,3}$sea ​​el espacio vectorial real de cuatro dimensiones con métrica de Minkowsky (forma cuadrática)$Q(x) = x_0^2 - x_1^2 - x_2^2 - x_3^2$para cada vector$x = (x_0,x_1,x_2,x_3) \, \in \, \mathbb{R}^{1,3}$. Defina un isomorfismo entre$\mathbb{R}^{1,3}$y el siguiente espacio vectorial de cuatro dimensiones de matrices hermitianas

$$R({1,3}) = \left\{X = \begin{pmatrix} x_0+x_3 & x_1 + i\,x_2\\ x_1 - i \, x_2 & x_0 - x_3 \end{pmatrix} \,\, : \,\, (x_0,x_1,x_2,x_3) \, \in \, \mathbb{R}^{1,3}\right\}$$ junto con la forma cuadrática $\det(X) = Q(x) = x_0^2 - x_1^2 - x_2^2 - x_3^2$. Entonces la acción habitual (como una matriz por un vector) del grupo de Lorentz $SO^{+}(1,3)$en $\mathbb{R}^{1,3}$es isomorfo a la acción conjunta de $SL(2,\mathbb{C})$ $$X \, \mapsto \, T\,X\,T^{-1}$$ para cualquier matriz $T \in SL(2,\mathbb{C})$. En esta imagen matricial, el espacio de De Sitter se define como $$\text{de}S = \{X \in R(1,3) \,\, : \,\, \det(X) = -1 \}$$ Este último espacio es un espacio homogéneo con respecto a la acción adjunta (acción de conjugación) de $SL(2,\mathbb{C})$y el estabilizador de cada punto de $\text{de}S$es isomorfo a $SL(2,\mathbb{R})$. Más precisamente, arreglar la matriz. $X_0 = \begin{pmatrix} 1 &0\\ 0 & - 1 \end{pmatrix}$de $\text{de}S$. Entonces tenemos el siguiente principio de construcción de paquetes $$\pi_0 \, : \, SL(2,\mathbb{R}) \, \to \, \text{de}S$$ $$\pi_0(T) = T\,X_0 \,T^{-1}$$ El estabilizador de $X_0$en $SL(2,\mathbb{C})$es exactamente $SL(2,\mathbb{R})$lo que significa que para cualquier $S \in SL(2,\mathbb{C})$, $\,\,S \, X_0 \, S^{-1} = X_0$si y solo si $S \in SL(2,\mathbb{R})$. Este último hecho significa que la acción correcta $T \mapsto TS$de $SL(2,\mathbb{R})$en $SL(2,\mathbb{C})$es la acción del grupo de estructura $SL(2,\mathbb{R})$en el espacio total del paquete $SL(2,\mathbb{C})$y la proyección del haz $\pi_0$es invariante con respecto a esta acción, es decir $\pi_0(TS) = \pi_0(T)$. Por lo tanto $$SL(2,\mathbb{C}) / SL(2,\mathbb{R}) \,\, \text{ is diffeomorphic to the base space } \, \text{de}S$$ que es el espacio de De Sitter.