¿Es el término potencial en un Lagrangiano dependiente de la velocidad?

Question

¿Es el término potencial en un Lagrangiano dependiente de la velocidad?

Física
potencial
energía potencial
mecanica clasica
formalismo lagrangiano

usuario575201

Sé que el Lagrangiano de un sistema tiene que depender de la coordenada (ya que el tipo de potencial depende de la coordenada) y de la velocidad y el tiempo (por KE y PE, respectivamente). Esto nos deja con una condición restringida para el tipo de potenciales que podemos manejar, los potenciales dependen solo del tiempo y las coordenadas, nada más que eso. En detalle, uno puede derivar desde cero lo siguiente (la llamada Ecuación de Lagrange)

\begin{matrix} (1) & \frac{d}{d t} (\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{i}}) - \frac{\partial T}{\partial q_{i}} = q_{i} \end{matrix}

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_i}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_i}=Q_i\tag{1}$ dónde

q_{i}

$q_i$ son coordenadas generalizadas,

T

$T$ es la energía cinética, y

Q_{j} := F_{i} \frac{\partial x^{i}}{\partial q^{j}}

$Q_j:=F_{i}\frac{\partial x^i}{\partial q^j}$ son fuerzas generalizadas. (Para más detalles, aquí

x^{i} = x^{i} (q_{1}, q_{2}, q_{3}, t)

$x^i=x^i(q_1,q_2,q_3,t)$ y

δ W = F_{i} δ x^{i}

$\delta W=F_i \delta x^i$ .) Supongamos que la fuerza

Q_{i}

$Q_i$ tiene potencial para que pueda expresarse como

q_{i} = - \frac{\partial tu}{\partial q_{i}} .

$\boxed{Q_i=-\frac{\partial U}{\partial q_i}.}$ Entonces

(1)

$(1)$ se puede expresar como

\begin{aligned} \frac{d}{d t} (\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{i}}) - \frac{\partial T}{\partial q_{i}} - q_{i} & = \frac{d}{d t} (\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{i}}) - \frac{\partial T}{\partial q_{i}} + \frac{\partial tu}{\partial q_{i}} \\ (2) & = \frac{d}{d t} (\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{i}}) - \frac{\partial}{\partial q_{i}} (T - tu) = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_i}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_i}-Q_i&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_i}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_i}+\frac{\partial U}{\partial q_i}\\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_i}\right)-\frac{\partial }{\partial q_i}(T-U)=0\tag{2} \end{align*}$ y si restringimos

U

$U$ de manera que

\frac{\partial U}{\partial {\dot{q}}_{i}} = 0

$\boxed{\frac{\partial U}{\partial \dot{q}_i}=0}$ , entonces podemos enchufar

U

$U$ en

(2)

$(2)$ como en el siguiente

\frac{d}{d t} (\frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{i}} (T - tu)) - \frac{\partial}{\partial q_{i}} (T - tu) = 0

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial }{\partial\dot{q}_i}(T-U)\right)-\frac{\partial }{\partial q_i}(T-U)=0$ y finalmente obtenemos la ecuación de Euler-Lagrange

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0$ dónde

L = T - U

$L=T-U$ .

Una condición cuando se nos ocurrió esta ecuación es la restricción de la función potencial, que no debe depender de la velocidad. Entonces, ¿cómo se puede aplicar/expandir el lagrangiano para que pueda describir, por ejemplo, el potencial dependiente de la velocidad (o incluso con un orden superior)?

Respuestas (2)

¿Es el término potencial en un Lagrangiano dependiente de la velocidad?

qmecanico · Answer 1

Eso parece ser un malentendido. Potenciales dependientes de la velocidad/generalizados $U(q,\dot{q},t)$ están permitidos en la mecánica lagrangiana . Ver, por ejemplo , esto , esto , esto y esto relacionados Phys.SE publicaciones.
Cabe destacar que una fuerza generalizada $Q_j$ podría no tener un potencial, ni siquiera un potencial dependiente de la velocidad/generalizado. Ejemplo: Fuerzas disipativas .

WarreG · Answer 2

El lagrangiano utilizado para describir a la fuerza de Lorentz, por ejemplo, tiene un potencial dependiente de la velocidad. La energía potencial es $U = q \phi - q\vec{A} \cdot \dot{\vec{r}}$ que a veces se denomina potencial generalizado . La energía cinética es $T = \frac{m}{2} \dot{\vec{r}} \cdot \dot{\vec{r}}$ . El procedimiento es el mismo que con un potencial que no depende de la velocidad. Puede encontrar la derivación completa en la página de wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force o aquí Carga, potenciales dependientes de la velocidad y Lagrangian .

¿Es el término potencial en un Lagrangiano dependiente de la velocidad?

usuario575201

Respuestas (2)

qmecanico

WarreG

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¿Por qué no podemos atribuir un potencial (posiblemente dependiente de la velocidad) a una fuerza disipativa?

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