Energía de enlace gravitacional del círculo 2D [cerrado]

Los asteroides se mantienen unidos por una combinación de fuerzas de gravedad y cohesivas (electromagnéticas) (las mismas fuerzas que mantienen unidas las rocas en la Tierra). Para asteroides pequeños (más pequeños que aproximadamente 1 km), la gravedad es insignificante, mientras que para cuerpos más grandes (más grandes que 10s a 100s de km) las fuerzas cohesivas se vuelven insignificantes*.

Si solo está interesado en los cuerpos más grandes, entonces su aproximación puramente gravitatoria es buena.

Si solo incluye la gravedad, entonces su modelado se llama ' montones de escombros ', lo cual no es una aproximación terrible. Pero si quiere ser un poco más realista para los cuerpos más pequeños, podría incluir una energía de enlace constante que no dependa de la masa. La magnitud podría ser comparable a la energía de enlace gravitacional de un objeto de aproximadamente 1 km de radio, pero debe elegirlo para que coincida con la dinámica deseada.

Con respecto al formalismo 2D: no está del todo claro por qué elige hacer esto en lugar de 3D, pero en realidad es lo mismo. Solo está usando 'densidad de superficie' en lugar de densidad de volumen. Es como si tus asteroides fueran discos en lugar de esferas.

@DilithiumMatrix ha hablado un poco sobre el significado físico detrás de su respuesta y la importante distinción detrás de las fuerzas de unión gravitacionales y electromagnéticas. Quiero señalar que su cálculo gravitacional en realidad no es correcto (aunque podría ser lo suficientemente bueno, vea el final de la publicación).

Por qué su respuesta no es realmente correcta:

El problema es que si tienes un asteroide 2D en un espacio 3D, entonces no es cierto que el potencial en el borde de un disco sea igual a la masa del disco dividida por su radio (veces$G$):

$$\Phi \neq -\frac{ G (\rho \pi r^2)}{r}.$$ Es cierto que la fuerza gravitacional sobre la superficie de una capa esférica depende únicamente de la masa encerrada en esa capa; en este caso, la fuerza actúa como si hubiera una masa puntual en el centro del caparazón. Pero para cualquier otra configuración de masa dentro de la esfera, la fuerza variará en dirección y magnitud sobre la superficie, y eso significa que el potencial también variará en magnitud sobre la superficie. Ya no actúa como una masa puntual concentrada en el centro.

Si, por otro lado, tienes un asteroide 2-D en un Universo 2-D, entonces no es realmente natural que la fuerza gravitacional disminuya proporcionalmente a$1/r^2$, por lo que el potencial probablemente no debería caer proporcionalmente a$1/r$. Esto es más fácil de ver en términos de campos eléctricos, que se comportan como campos gravitatorios en 3-D (es decir, obedecen una ley del cuadrado inverso). Si piensas en las líneas de campo de una carga puntual aislada, fluyen desde la carga puntual en línea recta en todas las direcciones; el hecho de que se alejen unos de otros equivale a decir que el campo se vuelve más débil a medida que te alejas. Específicamente, la fuerza del campo a una distancia particular es proporcional al número de líneas de campo por área a esa distancia; por lo tanto, dado que tenemos el mismo número de líneas de campo a cualquier distancia particular, y las áreas de las esferas circundantes van proporcionalmente a$r^2$, entonces se deduce que la intensidad de campo es inversamente proporcional a$r^2$.

Pero si traduces este argumento a 2-D y quieres que las líneas de campo gravitatorio/eléctrico tengan la misma interpretación, entonces las líneas de campo tendrán que extenderse sobre la circunferencia de un círculo, no sobre la superficie de una esfera . . Por lo tanto, como la circunferencia de un círculo es proporcional a$r$, la intensidad de campo en tal Universo será proporcional a$1/r$, no$1/r^2$. El potencial, se puede demostrar, es entonces proporcional a$-\ln r$en vez de$1/r$.

Volviendo al caso de un asteroide 2-D en un mundo 3-D: los cálculos reales para esto son bastante desagradables, y no creo que haya una respuesta numérica exacta. El problema es básicamente equivalente a preguntar cuál es el potencial eléctrico de un disco delgado con carga uniforme, y probablemente no exista una solución de forma cerrada en términos de funciones "agradables". Sin embargo, resolví un problema relacionado en el pasado y pude iniciar el código y obtener lo que creo que es una respuesta numérica aproximada:

$$U \approx -0.424 \frac{Gm^2}{R}.$$

Por qué su respuesta aún podría ser lo suficientemente buena:

En cierto sentido, el factor numérico al frente realmente no importa tanto. Si, por ejemplo, uno usara asteroides que fueran el doble de densos, esto duplicaría todas sus masas y, por lo tanto, cuadriplicaría todas sus energías de enlace. De hecho, no es demasiado difícil ver que cambiar el factor numérico delante de la fórmula es equivalente a cambiar la densidad de los asteroides. Realmente, lo que es importante obtener es la escala de$U$relativo a$m$y$R$correcto, y la única respuesta posible a esto es

$$U = - k \frac{GM^2}{R}$$ para alguna constante adimensional $k$. (La combinación $G M^2/R$es la única manera de combinar $G$, $M$, y $R$obtener algo en unidades de Joules; lo único que puede diferir de su respuesta final es el valor de $k$.)

Creo que mientras le des a tus asteroides una energía de enlace que sea proporcional al cuadrado de su masa e inversamente proporcional a su radio, entonces la física seguirá siendo bastante realista. Si esto fuera para un juego, por ejemplo, probablemente le diría que envíe ese código tal como está. Si, por otro lado, esto fuera para una monografía académica, entonces querrías ser mucho más cuidadoso con el valor exacto de$k$. (Sin embargo, probablemente estaría trabajando en 3-D en primer lugar, así que eso es lo que puede ser).