Equivalencia entre calibre de Lorenz y ecuación de continuidad

Question

Equivalencia entre calibre de Lorenz y ecuación de continuidad

indicador
Física
electromagnetismo
leyes-de-conservacion
electrodinámica-clásica

usuario2723984

Quiero mostrar que la condición de calibre de Lorenz

\nabla \cdot A + \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial Φ}{\partial t} = 0,

$\nabla\cdot \mathbf{A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\Phi}{\partial t}~~=~~0 \,,$ dónde

A

$\mathbf{A}$ y

Φ

$\Phi$ son el potencial vectorial y escalar del campo electromagnético, es equivalente a la ecuación de continuidad

\nabla \cdot j + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0,

$\nabla \cdot \mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}~~=~~0 \,,$ dónde

J

$\mathbf{J}$ es la corriente eléctrica y

ρ

$\rho$ la densidad de carga, usando la expresión general del potencial usando funciones de Green retardadas

\begin{aligned} Φ & = & \frac{1}{4 π ε_{0}} & \int d^{3} X^{'} \frac{ρ (X^{'}, t - \frac{1}{C} | X - X^{'} |)}{| X - X^{'} |} \\ A & = & \frac{m_{0}}{4 π} & \int d^{3} X^{'} \frac{j (X^{'}, t - \frac{1}{C} | X - X^{'} |)}{| X - X^{'} |} \end{aligned}

$\begin{alignat}{7} \Phi & ~~=~~ & \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} & \int \mathrm{d}^3x' \frac{\rho\left(\mathbf{x'},t-\frac{1}{c}|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|\right)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|} \\ \mathbf{A} & ~~=~~ & \frac{\mu_0}{4\pi} & \int \mathrm{d}^3x' \frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{x'},t-\frac{1}{c}|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|\right)}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|} \end{alignat}$

Mi primer instinto es simplemente conectar la expresión del potencial en el indicador de Lorenz, lo que produce

\begin{aligned} \nabla \cdot A + \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial Φ}{\partial t} & = & \frac{m_{0}}{4 π} \int d^{3} X^{'} \nabla_{X} \cdot \frac{j (X^{'}, t - \frac{1}{C} | X - X^{'} |)}{| X - X^{'} |} \\ + & \frac{m_{0}}{4 π} \int d^{3} X^{'} \frac{\partial}{\partial t} \frac{ρ (X^{'}, t - \frac{1}{C} | X - X^{'} |)}{| X - X^{'} |} \\ = & \frac{m_{0}}{4 π} {(\begin{aligned} \int d^{3} X^{'} \frac{\nabla_{X} \cdot j (X^{'}, t - \frac{1}{C} | X - X^{'} |)}{| X - X^{'} |} \\ - & \int d^{3} X^{'} j (X^{'}, t - \frac{1}{C} | X - X^{'} |) \cdot \frac{X - X^{'}}{{| X - X^{'} |}^{3}} \\ + & \int d^{3} X^{'} \frac{\partial}{\partial t} \frac{ρ (X^{'}, t - \frac{1}{C} | X - X^{'} |)}{| X - X^{'} |} \end{aligned})}_{,} \end{aligned}

$\begin{alignat}{7} \nabla\cdot \mathbf{A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\Phi}{\partial t} & ~~=~~ && \frac{\mu_0}{4\pi}\int \mathrm{d}^3x' \nabla_{\mathbf{x}}\cdot\frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{x'},t-\frac{1}{c}|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|\right)}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|} \\ && ~~+~~ & \frac{\mu_0}{4\pi}\int \mathrm{d}^3x' \frac{\partial}{\partial t}\frac{\rho\left(\mathbf{x'},t-\frac{1}{c}\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|\right)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|} \\ \\ &~~=~~&&\frac{\mu_0}{4\pi} % \left( \begin{array}{rl} & \displaystyle{\int{\mathrm{d}^3x' \frac{\nabla_{\mathbf{x}}\cdot\mathbf{J}\left(\mathbf{x'},t-\frac{1}{c}|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|\right)}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}}} \\ - & \displaystyle{\int{\mathrm{d}^3x' \mathbf{J}\left(\mathbf{x'},t-\frac{1}{c}\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|\right)\cdot\frac{\mathbf{x}-\mathbf{x'}}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|^3}}} \\ + & \displaystyle{\int{\mathrm{d}^3x' \frac{\partial}{\partial t}\frac{\rho\left(\mathbf{x'},t-\frac{1}{c}\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|\right)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|}}} \end{array} \right)_{\Large{,}} \end{alignat}$ usando

\nabla \cdot ψ A = ψ \nabla \cdot A + A \cdot \nabla ψ .

$\nabla \cdot \psi \mathbf{A} ~~=~~ \psi \nabla\cdot \mathbf{A} + \mathbf{A}\cdot\nabla\psi \,.$

Ahora, el primer y último término en la última expresión son la ecuación de continuidad, pero ese término medio arruina todo. No veo por qué debería ser cero, y si no debería, dónde me equivoco.

garyp

Que me estoy perdiendo aqui. No pueden ser equivalentes. La ecuación de continuidad debe cumplirse, pero la condición de Lorenz no tiene por qué.

usuario2723984

Puedo ver su punto de. Esto es lo que me pide una serie de ejercicios. Esas son la expresión de los potenciales en el caso de condiciones de contorno homogéneas en el espacio vacío, así que supongo que en este caso simple se mantiene la equivalencia.

AccidentalFourierTransformar

Posible duplicado de la condición de Ensuring Lorenz Gauge en la solución Green Function

AccidentalFourierTransformar

Hola, @Nat, noté que ~~=~~últimamente has estado editando ecuaciones. ¿Alguna razón en particular? No se ve bien, y no es una práctica recomendada.

natural

@AccidentalFourierTransform Principalmente solo para distribuirlos. Trato de mantener las expresiones más espacialmente locales a aquellas con las que interactúan primero en el análisis, por lo que los operandos de prioridad de operaciones de orden bajo tienden =a tener más espacio alrededor de ellos. Creo que la mayoría de la gente tiende a usar \quado \qquad, pero ~~me parece un poco más limpio y más ajustable. Si se ve mal, ¿la preocupación es que no hay suficiente espacio o demasiado?

AccidentalFourierTransformar

@Nat Hmm, no creo que la gente use \quado \qquadesté alrededor del =letrero, al menos no muy a menudo. El espaciado convencional alrededor de la =señal es el que se genera automáticamente. Se desaconseja insertar espacio adicional. Está bien si desea incluir ese espacio en sus ecuaciones, pero no creo que deba agregarlo en las ecuaciones de otras personas. Por mi parte, no me gustaría que la gente editara mis publicaciones para incluir un estilo poco convencional e idiosincrásico.

natural

@AccidentalFourierTransform Sí, no sería mi intención impulsar un estilo que a alguien no le gusta. Tendré que revisar las convenciones; no fue mi impresión que esto fuera inusual o pareciera extraño.

usuario2723984

No entiendo por qué esta pregunta, que hice hace varios meses y fue ignorada en gran medida, está recibiendo una votación reñida debido a un "posible duplicado" con un enlace a una pregunta que no me parece que tenga nada. que ver con la mía (no quiero verificar que las soluciones aún cumplan con la condición de calibre de Lorenz, ¡lea mi pregunta nuevamente!), Además, la pregunta se modificó sin razón aparente, y ahora la notación es ambigua y parece como si estuviera igualando un escalar a un vector en la última ecuación. Sinceramente, ¿qué diablos?

Respuestas (2)

Equivalencia entre calibre de Lorenz y ecuación de continuidad

Que me estoy perdiendo aqui. No pueden ser equivalentes. La ecuación de continuidad debe cumplirse, pero la condición de Lorenz no tiene por qué.
Puedo ver su punto de. Esto es lo que me pide una serie de ejercicios. Esas son la expresión de los potenciales en el caso de condiciones de contorno homogéneas en el espacio vacío, así que supongo que en este caso simple se mantiene la equivalencia.
Posible duplicado de la condición de Ensuring Lorenz Gauge en la solución Green Function
Hola, @Nat, noté que ~~=~~últimamente has estado editando ecuaciones. ¿Alguna razón en particular? No se ve bien, y no es una práctica recomendada.
@AccidentalFourierTransform Principalmente solo para distribuirlos. Trato de mantener las expresiones más espacialmente locales a aquellas con las que interactúan primero en el análisis, por lo que los operandos de prioridad de operaciones de orden bajo tienden =a tener más espacio alrededor de ellos. Creo que la mayoría de la gente tiende a usar \quado \qquad, pero ~~me parece un poco más limpio y más ajustable. Si se ve mal, ¿la preocupación es que no hay suficiente espacio o demasiado?
@Nat Hmm, no creo que la gente use \quado \qquadesté alrededor del =letrero, al menos no muy a menudo. El espaciado convencional alrededor de la =señal es el que se genera automáticamente. Se desaconseja insertar espacio adicional. Está bien si desea incluir ese espacio en sus ecuaciones, pero no creo que deba agregarlo en las ecuaciones de otras personas. Por mi parte, no me gustaría que la gente editara mis publicaciones para incluir un estilo poco convencional e idiosincrásico.
@AccidentalFourierTransform Sí, no sería mi intención impulsar un estilo que a alguien no le gusta. Tendré que revisar las convenciones; no fue mi impresión que esto fuera inusual o pareciera extraño.
No entiendo por qué esta pregunta, que hice hace varios meses y fue ignorada en gran medida, está recibiendo una votación reñida debido a un "posible duplicado" con un enlace a una pregunta que no me parece que tenga nada. que ver con la mía (no quiero verificar que las soluciones aún cumplan con la condición de calibre de Lorenz, ¡lea mi pregunta nuevamente!), Además, la pregunta se modificó sin razón aparente, y ahora la notación es ambigua y parece como si estuviera igualando un escalar a un vector en la última ecuación. Sinceramente, ¿qué diablos?

Julio Moros · Answer 1

Estás tratando de probar lo correcto con las suposiciones incorrectas.

La ecuación de continuidad y la ecuación de calibre de Lorentz describen lo que sucede en el lugar y el tiempo de la fuente, mientras que los potenciales dados por las integrales de Green retrasadas describen lo que mide un observador lejos del lugar-tiempo de la fuente. Entonces, estos dos pares de ecuaciones no pueden sustituirse directamente uno en el otro, ya que no están directamente relacionados.

Para una prueba elegante de que la condición de Lorentz es una consecuencia directa de la ecuación de continuidad, eche un vistazo a la sección 14-5 (El potencial de Hertz) del libro: "Electricidad clásica y magnetismo" de Wolfgang Panofsky y Melba Phillips.

Hoy en día se llama condición de Lorenz , no condición de Lorentz.
No pude encontrar tal prueba en la sección 14-5. Lo que están diciendo es que cuando se supone que los potenciales están dados por las soluciones retardadas de las ecuaciones de onda, junto con la ecuación de continuidad, esto implica la condición de Lorenz. Pero la ecuación de onda y las soluciones retardadas generalmente se obtienen asumiendo la condición de Lorenz, por lo que es una prueba circular.

verdelita · Answer 2

En el libro de texto de Griffiths "Introducción a la electrodinámica" (tercera edición), el problema 10.8 es "Confirme que los potenciales retardados satisfacen la condición de calibre de Loren (t) z". La solución está disponible en línea (busque "introduction to electrodynamics solution manual david griffiths"). Una comparación de la solución de Griffiths con la tuya reveló que el primer y el último término de tu última expresión no eran la ecuación de continuidad, como señaló Julio Moros en su respuesta.

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natural

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