¿Se conserva el momento canónico cuando una partícula se mueve en un campo magnético?

Question

¿Se conserva el momento canónico cuando una partícula se mueve en un campo magnético?

qfzklm

Aquí hay una pregunta sobre el impulso canónico que hice hace unos días, pero todavía tengo un punto que no entiendo.

Considerando que una partícula se mueve en un campo magnético con carga $q$ y masa $m$ , su hamiltoniano es

H = \frac{{\vec{PAG}}^{2}}{2 metro} = \frac{(\vec{pag} + q \vec{A})^{2}}{2 metro}

$H=\frac{\vec{P}^2}{2m}=\frac{(\vec{p}+q\vec{A})^2}{2m}$ dónde

\vec{p}

$\vec{p}$ es el momento de la partícula,

\vec{A}

$\vec{A}$ es el vector potencial del campo magnético y

\vec{P}

$\vec{P}$ es el momento canónico de la partícula.

Creo que, por la expresión del hamiltoniano, el momento canónico $\vec{P}$ es una cantidad conservada.

Pero por la respuesta en el enlace anterior , parece que el momento canónico no se conserva incluso en un ejemplo simple de que una partícula se mueve en un campo magnético homogéneo.

Estoy confundido con esta pregunta. ¿Se conserva el momento canónico cuando una partícula se mueve en un campo magnético?

Carlos Witthoft

Pero ¿por qué piensas eso? - no es que su pregunta vinculada tenga una respuesta muy clara. Profundizaría en L&L o libros de texto similares para obtener detalles en lugar de simplemente volver a hacer la pregunta.

qfzklm

@CarloWitthoft

H = \frac{P^{2}}{2 m}

$H=\frac{P^2}{2m}$ y

[P, H] = 0

$[P,H]=0$ , Creo

P

$P$ se conserva Por cierto, no tengo este libro y mi libro de texto no discute esta u otras preguntas similares, ¿podría darme más detalles?

kyle kanos

posible duplicado de Una pregunta sobre el momento canónico y la arbitrariedad del potencial en el magnetismo

Ján Lalinský

qfzklm, te equivocaste. La función hamiltoniana para partículas en campo magnético es

H (\vec{p}, \vec{r}) = \frac{(\vec{p} - q \vec{A} (\vec{r}))^{2}}{2 m}

$H(\vec p, \vec r) = \frac{(\vec p - q\vec A(\vec r))^2}{2m}$ , y minúsculas

\vec{p}

$\vec p$ se llama momento canónico, mientras que en mayúsculas

\vec{P} = \vec{p} - q \vec{A}

$\vec P = \vec p - q\vec A$ es el momento cinético (

m \vec{v}

$m\vec v$ ).

qfzklm

@JánLalinský Muchas gracias, y tengo que disculparme por mi culpa con todos.

Respuestas (6)

¿Se conserva el momento canónico cuando una partícula se mueve en un campo magnético?

Pero ¿por qué piensas eso? - no es que su pregunta vinculada tenga una respuesta muy clara. Profundizaría en L&L o libros de texto similares para obtener detalles en lugar de simplemente volver a hacer la pregunta.
@CarloWitthoft $H=\frac{P^2}{2m}$ y $[P,H]=0$ , Creo $P$ se conserva Por cierto, no tengo este libro y mi libro de texto no discute esta u otras preguntas similares, ¿podría darme más detalles?
posible duplicado de Una pregunta sobre el momento canónico y la arbitrariedad del potencial en el magnetismo
qfzklm, te equivocaste. La función hamiltoniana para partículas en campo magnético es $H(\vec p, \vec r) = \frac{(\vec p - q\vec A(\vec r))^2}{2m}$ , y minúsculas $\vec p$ se llama momento canónico, mientras que en mayúsculas $\vec P = \vec p - q\vec A$ es el momento cinético ( $m\vec v$ ).
@JánLalinský Muchas gracias, y tengo que disculparme por mi culpa con todos.

Rococó · Answer 1

Como señaló Jan, el hamiltoniano debería tener un signo menos:

$H=\frac{(p-qA)^2}{2m}$

dónde $p$ es el momento canónico, y la expresión $p-qA$ es el momento cinético $P$ .

Un campo magnético homogéneo es un caso interesante, porque el vector potencial en un calibre dado no exhibe invariancia de traslación, pero el sistema físico claramente sí. La solución a este dilema es que puede preservar la invariancia traslacional cambiando el indicador a medida que mueve las coordenadas.

Hay una cantidad conservada asociada con esta simetría, pero resulta que no es el momento canónico (ni tampoco el momento cinético). No sé si tiene un nombre particular, y dado que depende del calibre, no hay una expresión universal que pueda escribir para él. Pero, por ejemplo, en el calibre donde $A=\frac{B}{2}(-y,x)$ , es sólo $(p+qA)$ . Si alguien tiene una idea de alguna interpretación física de esta cantidad, me interesaría escucharla.

Hay un muy buen ejemplo de todo esto, elaborado concretamente, en estas notas .

Urgje · Answer 2

Tal vez un ejemplo ayude. Dejar $B$ Sea un campo magnético constante. Entonces podemos tomar $A=\frac12B×x$ . Ahora

\frac{(pag + q A)^{2}}{2 metro} = \frac{{pag}^{2}}{2 metro} + \frac{q}{2 metro} (pag \cdot A + A \cdot pag) + \frac{q^{2} A^{2}}{2 metro},

$\frac{(p+qA)^2}{2m}=\frac{p^2}{2m}+\frac{q}{2m}(p⋅A+A⋅p)+\frac{q^2A^2}{2m},$ y

pag \cdot A + A \cdot pag = yo \cdot B

$p⋅A+A⋅p=l⋅B$ dónde

l = x \times p

$l=x×p$ . De este modo

\frac{(pag + q A)^{2}}{2 metro} = \frac{{pag}^{2}}{2 metro} + \frac{q}{2 metro} yo \cdot B + \frac{q^{2} A^{2}}{2 metro} .

$\frac{(p+qA)^2}{2m}=\frac{p^2}{2m}+\frac{q}{2m}l⋅B+\frac{q^2A^2}{2m}.$ Aquí reconocemos la

l \cdot B

$l⋅B$ -término como el término de Zeeman.

Si ahora calculamos la derivada de $p$ de acuerdo a

\frac{d pag}{d t} = i [pag, H],

$\frac{dp}{dt}=i[p,H],$ entonces obtenemos la fuerza de Lorentz.
Esta es la versión cuántica. En el caso clásico, el conmutador se reemplaza por el soporte de Poisson.

Puedes usar \frac{a}{b}para obtener $\frac{a}{b}$ , en lugar de usar /. Me he tomado la libertad de modificar tu respuesta para usar esto, espero que no te importe.
@KyleKanos. Gracias por la modificación. No soy muy bueno en la edición de LaTeX.

usuario41025 · Answer 3

Esta pregunta está bien respondida, sin embargo, permítanme agregar un punto más.

La ecuación de movimiento de Newton se puede escribir de la siguiente forma:

\frac{d}{d t} (\vec{pag} + q \vec{A}) = - q \nabla (ϕ - \vec{v} \cdot \vec{A})

$\frac{d}{dt}(\vec p + q\vec A) = -q\nabla(\phi - \vec v\cdot\vec A)$ Aquí

\vec{p} = γ m \vec{v}

$\vec p = \gamma m \vec v$ es el momento cinético.

ϕ

$\phi$ es el potencial eléctrico.

\vec{P} \equiv \vec{p} + q \vec{A}

$\vec P \equiv \vec p + q \vec A$ es el momento canónico. Está claro a partir de esta ecuación que el momento canónico solo se conserva si el gradiente del potencial generalizado

ϕ - \vec{v} \cdot \vec{A}

$\phi - \vec v\cdot\vec A$ es cero

Como se señaló en las respuestas anteriores, en el campo magnético uniforme, hay una cantidad conservada, debido a la invariancia traslacional del sistema. Esta cantidad se conoce en la literatura como el pseudo-momentum :

\vec{k} = \vec{pag} + 2 q \vec{A} = \vec{PAG} + q \vec{A}

$\vec K = \vec p + 2q\vec A = \vec P + q \vec A$ Puedes verificar esto tomando la derivada temporal de

\vec{K}

$\vec K$ .

Jinawee · Answer 4

Pista: $P$ se conserva si no es explícitamente dependiente del tiempo y si su corchete de Poisson con el hamiltoniano es cero.

Así que solo tienes que comprobar que:

{PAG, H} = 0

$\{P,H \}=0$

ZachMcDargh · Answer 5

Estado de las ecuaciones de Hamilton $\dot{P_i} = -\frac{\partial H}{\partial q^i}.$ En este caso, esto es

$\dot{P_i} = -\frac{\partial H}{\partial q^i} = -\frac{\vec{P}}{m} \cdot \frac{\partial \vec{A}}{\partial q^i}.$

Entonces el momento canónico no se conserva.

Nuevamente, a menos que $\frac {\delta A}{\delta q}$ es cero
Carl ha señalado lo principal. En general, la cantidad de movimiento se conserva solo mientras el potencial (ya sea vectorial o escalar) sea uniforme. No podemos esperar que la cantidad de movimiento se conserve en un campo magnético uniforme, como tampoco podemos esperar que se conserve en un campo eléctrico uniforme.

sergio lantzmann · Answer 6

El momento canónico (total) es la suma del momento cinético (mecánico) y el momento potencial. El impulso potencial ocurre solo si la energía potencial depende explícitamente de la velocidad. Mire un caso mucho más simple: una partícula cae en gravedad constante. La energía potencial depende únicamente de la altura. No hay impulso potencial. El momento canónico es solo el momento mecánico, que obviamente no es constante. Aumenta a medida que cae la partícula.

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