Cuestión conceptual sobre densidad de corriente volumétrica y derivación de la ecuación de continuidad

Question

Cuestión conceptual sobre densidad de corriente volumétrica y derivación de la ecuación de continuidad

khaled014z

La expresión para la integral de volumen de la densidad de carga volumétrica es

$\int_{V} (\nabla \cdot\vec{J}) d\tau = -\frac{d}{dt} \int_{V} \rho d\tau = -\int_{V} (\frac{\partial \rho}{\partial t}) d\tau$

Entiendo físicamente que a medida que la carga sale de un volumen diferencial, la divergencia de la densidad de corriente del volumen es positiva y que la densidad de carga del volumen disminuiría

Pero necesito una explicación más clara para estas ecuaciones, ¿cómo pasamos de $\int_{V} (\nabla \cdot\vec{J}) d\tau$
a $-\frac{d}{dt} \int_{V} \rho d\tau$ ¿matemáticamente? Cuando lo piensas conceptualmente, es intuitivo, pero estoy hablando de las matemáticas aquí, también cómo llegamos de $-\frac{d}{dt} \int_{V} \rho d\tau$ a $\int_{V} (\frac{\partial \rho}{\partial t}) d\tau$

¿Será porque en este caso $\rho$ puede depender de la posicion? Tal vez mis preguntas sean triviales, pero no tengo una sólida formación en cálculo multivariable, haré todo lo posible para comprender, por lo que agradecería cualquier idea.

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Cuestión conceptual sobre densidad de corriente volumétrica y derivación de la ecuación de continuidad

caverna · Answer 1

Considere una superficie $S$ encerrando un volumen $V$ , la corriente neta moviéndose hacia el volumen $V$ es

\begin{matrix} (1) & I = - \int_{S} d^{2} S \cdot j \end{matrix}

$I = -\int_S {\rm d}^2{\bf S} \cdot {\bf J} \tag{1}$

Y tu intuición aquí funciona: ya que ${\rm d}{\bf S}$ apunta hacia afuera, si el flujo de corriente está en el volumen, el producto interno es negativo, por lo que necesita el signo menos. Y sabes que la corriente es sólo

\begin{matrix} (2) & I = \frac{d q (t)}{d t} = \frac{d}{d t} \int_{V} d^{3} r ρ (r, t) \end{matrix}

$I = \frac{{\rm d}q(t)}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\int_{V}{\rm d}^3{\bf r} ~\rho({\bf r}, t) \tag{2}$

dónde ${\bf \rho}$ es la densidad de carga. Ahora tenga en cuenta que está integrando wrt a las coordenadas y tomando la derivada wrt a tiempo, por lo que estas dos operaciones se conmutan, pero si las intercambia, debe tener en cuenta que la cantidad de la que está tomando la derivada temporal de ( $\rho$ ) ahora depende tanto de las coordenadas como del tiempo. En otras palabras

\begin{matrix} (3) & I = \frac{d}{d t} \int_{V} d^{3} r ρ (r, t) = \int_{V} d^{3} r \frac{\partial}{\partial t} ρ (r, t) \end{matrix}

$I = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\int_{V}{\rm d}^3{\bf r} ~\rho({\bf r}, t) = \int_{V}{\rm d}^3{\bf r} ~\frac{\partial}{\partial t}\rho({\bf r}, t)\tag{3}$

Reemplazar (3) en (1)

\begin{matrix} (4) & \int_{V} d^{3} r \frac{\partial}{\partial t} ρ (r, t) = - \int_{S} d^{2} S \cdot j \end{matrix}

$\int_{V}{\rm d}^3{\bf r} ~\frac{\partial}{\partial t}\rho({\bf r}, t) = -\int_S {\rm d}^2{\bf S} \cdot {\bf J} \tag{4}$

Ahora aplica el teorema de la divergencia

\begin{matrix} (5) & \int_{V} d^{3} r \frac{\partial}{\partial t} ρ (r, t) = - \int_{V} d^{3} r \nabla \cdot j \end{matrix}

$\int_{V}{\rm d}^3{\bf r} ~\frac{\partial}{\partial t}\rho({\bf r}, t) = -\int_V {\rm d}^3{\bf r} \nabla \cdot {\bf J} \tag{5}$

Cuestión conceptual sobre densidad de corriente volumétrica y derivación de la ecuación de continuidad

khaled014z

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caverna

khaled014z

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