¿Cómo los campos eléctricos o magnéticos contienen impulso?

Question

¿Cómo los campos eléctricos o magnéticos contienen impulso?

youpilat13

Recientemente he llegado a saber que el campo eléctrico y magnético contienen momentos tanto lineales como angulares, que son funciones conocidas de los campos eléctrico y magnético en cualquier punto del espacio y el tiempo.

No entiendo cómo es este el caso; ¿podría explicar cómo funciona esto? ¿Está relacionado con los fotones emitidos por las cargas aceleradas o con la fuerza de Abraham-Lorentz?

Emilio Pisanty

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/114466

Respuestas (5)

¿Cómo los campos eléctricos o magnéticos contienen impulso?

Emilio Pisanty · Answer 1

En términos de una imagen de fotones, esto no es realmente misterioso en absoluto. La fuerza electromagnética está mediada, en su descripción mecánica cuántica, por el intercambio de fotones. Éstos pueden ser reales, es decir, representar haces de luz reales, o virtuales, lo que significa que la energía para la existencia del fotón ha sido 'prestada' durante un breve período de tiempo, según lo permite el principio de incertidumbre de Heisenberg. Los campos electrostáticos y magnetostáticos consisten, en la imagen cuántica, en una gran cantidad de fotones virtuales que vuelan de un lado a otro.

Ahora, cada uno de estos fotones lleva una cierta cantidad de impulso. Deben hacerlo, porque impartirán una fuerza sobre las partículas cargadas que las absorben o las emiten. Dado que cada fotón lleva impulso, no sorprende que el campo en su conjunto pueda contener una cantidad neta de impulso. A veces, esto será cero: las contribuciones de los diferentes fotones se cancelarán localmente en cada punto o globalmente una vez que se consideren todos los puntos, pero este no tiene por qué ser el caso. Por lo tanto, el campo electromagnético puede llevar impulso.

Ahora, esta es una imagen agradable e intuitiva, pero se basa en un concepto muy exótico, por lo que entendería si te extraña un poco. Más que eso, dado que la existencia del impulso del campo electromagnético se requiere dentro de la electrodinámica clásica, también se desearía una respuesta que no requiera la mecánica cuántica para explicarla. (Piense en esto último con cuidado, no es un argumento trivial).

Al final, si el campo "tiene" impulso o no es una cuestión de definición de la palabra "tener", que es una construcción humana. En rigor, lo cierto es que

es posible organizar situaciones en las que las partículas cargadas interactúan de manera que su momento mecánico total no se conserva, pero una vez que todas las partículas se separan de nuevo, su momento total final es igual al inicial.

Esto se ve reforzado por el hecho de que

existe una cantidad, con unidades de momento, y que se puede calcular a partir de los campos eléctrico y magnético en cada punto, que dará una cantidad conservada si se suma al momento mecánico total de las partículas.

Es importante tener en cuenta que la conservación del impulso no es un hecho; es una propiedad de las teorías físicas que cualquier teoría particular puede o no tener. (Da la casualidad de que todas las teorías físicas que observamos en el mundo real lo observan de alguna forma, pero eso no está garantizado a priori).

Un ejemplo de esto es la mecánica newtoniana con fuerzas que obedecen la tercera ley de Newton. En este caso, es un teorema de la teoría de que se conserva el impulso mecánico total.

Otro ejemplo es el teorema de Noether, que garantiza una ley de conservación de la cantidad de movimiento en sistemas dinámicos de cierta clase, cuyas leyes son traslacionalmente invariantes. Para ciertos sistemas existe esta invariancia y, por lo tanto, se conserva el impulso; para otros no lo es y el impulso no se conserva.

Para partículas mecánicas cargadas que interactúan electromagnéticamente, la tercera ley de Newton no se cumple, por lo que nuestro viejo teorema no es aplicable (y de hecho su conclusión es falsa, ya que el momento mecánico no se conserva). Sin embargo, esto no significa que no podamos encontrar un teorema más inteligente y sofisticado que implique una ley de conservación.

Por lo tanto, uno necesita sentarse un rato y agitarse con las matemáticas, pero el teorema es demostrable. En esencia, lo que haces es

escriba la fuerza total sobre las partículas mecánicas,
expresarlo en términos de campos electromagnéticos, cargas y corrientes,
usar las ecuaciones de Maxwell para transformar las cargas y corrientes en campos eléctricos y magnéticos, y así
derivar una expresión para la fuerza mecánica total sobre el sistema en términos de la integral de una determinada función de los campos eléctrico y magnético en cada punto.
Luego, se necesita transformar esta cantidad en la derivada del tiempo total de una expresión más simple, que se interpretará como el momento del campo electromagnético. Esto es posible, pero deja un resto que depende del volumen que esté integrando.
Entonces se puede probar que, para sistemas localizados, este resto se desvanece. Cuando lo hace, se conserva el momento dinámico total (mecánico más electromagnético).

En general, lo desalentaría de intentar este cálculo hasta que haya tomado cursos sólidos en electromagnetismo y cálculo vectorial a nivel universitario, o simplemente se magullará contra él. Centrarse, en cambio, en la física, en un nivel cualitativo.

Si tiene preguntas más específicas, con gusto intentaré responder, pero si desea detalles sobre las matemáticas , debe especificar cuál es su formación para que podamos darle respuestas que comprenderá.

fausto vezzaro · Answer 2

Te mostraré "cómo es este el caso", "cómo funciona", pero esto necesita tiempo. Esta es una pregunta muy interesante y lamento ver que los libros se dividen en dos conjuntos: uno básico que simplemente salta el problema (tal vez mencionándolo o informando una fórmula que dice que los cálculos son aburridos, mientras que son emocionantes); y los avanzados, que obviamente tratan un problema tan importante, pero lo resuelven todo con pocos símbolos usando matemáticas tan duras que son difíciles de entender por lectores menos capaces (aquí estoy yo). Encuentro que el mejor compromiso es, como siempre, Griffiths (de quien tomo la mayor parte de esta respuesta). Pero por una vez quiero criticar su libro también. Puso al lector frente a la traumatizante divergencia de una matriz, sin prepararlo para manejar tal objeto. Por eso yo' Pondré en esta respuesta una sección llamada "Teorema de la divergencia alternativa". Aquí siempre usaré coordenadas cartesianas, simplemente aseguro que esta es la forma más sencilla de ver por qué hay una densidad de momento del campo electromagnético y calcular cuánto es. Estos cálculos son largos, pero si el lector confía en mí, se sentirá gratificado.

Densidad de corriente de momento

Es necesario introducir el concepto de densidad de corriente de cantidad de movimiento. como la densidad de corriente $\mathbf{J}$ es un vector tal que $\mathbf{J} \cdot d\mathbf{a} dt$ da la cantidad de carga que pasa $d\mathbf{a}$ en el intervalo $t \to t+dt$ ; la densidad de corriente de impulso es una matriz tal que ${\sf{M}} \cdot d\mathbf{a} dt$ da la cantidad de impulso que fluye a través $d\mathbf{a}$ en el intervalo $t \to t+dt$ . La carga es un escalar, por lo que la densidad de corriente es un vector, pero el impulso es un vector, por lo que parece razonable introducir una matriz para describir su densidad de corriente (el producto escalar con un vector da un vector). En esta definición no digo si tengo que hacer ${\sf{M}} \cdot d\mathbf{a}$ o $d\mathbf{a} \cdot {\sf{M}}$ , pero esto es lo mismo: veremos que en coordenadas cartesianas el momento la densidad de corriente es una matriz simétrica.

Una forma interesante de describir la conservación del momento

Supongamos que el volumen interior $V$ Son partículas cargadas en movimiento en un campo electromagnético (no necesariamente todas dadas por la carga en sí). Seamos $d\mathbf{p}$ el cambio, durante el tiempo $dt$ , del momento de estos cuerpos en el volumen $V$ . Si podemos escribir esta ecuación,

\frac{d pag}{d t} = - \frac{d}{d t} \int_{V} C d τ - \oint_{S} D \cdot d a

$\begin{equation} \frac{d\mathbf{p}}{dt} = - \frac{d}{dt} \int_V \mathbf{C} d \tau - \oint_S {{\sf{D}}} \cdot d \mathbf{a} \end{equation}$ entonces la única interpretación razonable es que

C

$\mathbf{C}$ es la densidad de momento del campo y

D

${\sf{D}}$ es la densidad de corriente de impulso. De hecho, de esta manera, la ecuación anterior dice que el cambio de momento de campo en el intervalo

t \to t + d t

$t \to t+dt$ dentro del volumen (es decir

d (\int_{V} C d τ)

$d \left( \int_V \mathbf{C} d \tau \right)$ ) es lo opuesto a la variación del momento de los cuerpos (es decir,

d p

$d\mathbf{p}$ ) menos el momento del campo que fluyó a través de la superficie

S

$S$ (es decir

\oint_{S} D \cdot d a d t

$\oint_S {{\sf{D}}} \cdot d \mathbf{a} dt$ ). Estamos excluyendo la posibilidad de que los cuerpos atraviesen la superficie

S

$S$ a tiempo

d t

$dt$ , de lo contrario, deberíamos generalizar la ecuación, pero no necesitamos hacerlo si estamos interesados en evaluar el momento del campo electromagnético de la manera más fácil. Tómese su tiempo para reflexionar sobre esta ecuación y estas consideraciones, y vea qué tan razonables son. Entonces continúa.

Vector de Poynting y definición del tensor de Maxwell

Más tarde usaremos el vector que definimos aquí (introducido por John Henry Poynting en 1884)

S = \frac{mi \times B}{m_{0}}

$\begin{equation} \mathbf{S} = \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{\mu_0} \end{equation}$

Permítanme presentarles esta matriz, por el momento puede sonar un lío pero luego verán que la presentamos para evitar un lío y expresar el teorema de una manera elegante. tensor de maxwell ${\sf{T}}$ es descrito por

T_{i j} = ϵ_{0} ({mi}_{i} {mi}_{j} - \frac{1}{2} d_{i j} {mi}^{2}) + \frac{1}{m_{0}} (B_{i} B_{j} - \frac{1}{2} d_{i j} B^{2})

$\begin{equation} T_{ij} = \epsilon_0 \left( E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^2 \right) +\frac{1}{\mu_0} \left( B_i B_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} B^2 \right) \end{equation}$ donde índice

i

$i$ y

j

$j$ se refiere a tres coordenadas

x

$x$ ,

y

$y$ y

z

$z$ (para que el tensor tenga en total 9 componentes: todas las combinaciones posibles

T_{x x}

$T_{xx}$ ,

T_{x y}

$T_{xy}$ ,

T_{x z}

$T_{xz}$ ,

T_{y x}

$T_{yx}$ , etc) y

δ_{i j}

$\delta_{ij}$ es delta de Kronecker. Explícitamente podríamos escribir (nótese que para obtener esto a continuación tenemos que sustituir campo al cuadrado en la definición con suma de componentes al cuadrado)

ingrese la descripción de la imagen aquí

Teorema de la divergencia alternativa

Dado un campo matricial simétrico ${\sf{M}}$ , definido en volumen $V$ rodeado de superficie $S$ , tenemos

\int_{V} (\nabla \cdot METRO) d τ = \oint_{S} METRO \cdot d a

$\begin{equation} \int_V (\nabla \cdot {\sf{M}}) d \tau = \oint_S {\sf{M}} \cdot d \mathbf{a} \end{equation}$ Por campo matricial nos referimos a un campo análogo al vector, pero con matrices (cada elemento es una función de

(x, y, z, t)

$(x,y,z,t)$ ). La analogía con el teorema de la divergencia ordinaria es fuerte (nótese que

\nabla \cdot

$\nabla \cdot$ bajo por uno la dimensión del objeto al que lo aplicamos). A la izquierda hacemos una integral de volumen de productos entre un campo vectorial y volúmenes infinitesimales, a la derecha hacemos una integral de superficie de productos entre un campo matricial y vectores de superficie infinitesimales. En ambos lados tenemos una suma infinita de vectores infinitesimales: un vector finito.

Prueba del teorema de la divergencia alternativa

La demostración de este teorema alternativo de la divergencia es similar a la del teorema ordinario de la divergencia. Supongamos por simplicidad que el volumen $V$ es el paralelepípedo $(a<x<b, c<y<d, e<z<f)$ . El flujo del campo matricial ${\sf{M}}$ por la cara ortogonal a $x$ el eje es

\int_{mi}^{F} \int_{C}^{d} METRO (a, y, z) \cdot [\begin{matrix} - d y d z \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] + \int_{mi}^{F} \int_{C}^{d} METRO (b, y, z) \cdot [\begin{matrix} d y d z \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

$\begin{equation} \int_e^f \int_c^d {\sf{M}} (a,y,z) \cdot \begin{bmatrix} -dydz \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \int_e^f \int_c^d {\sf{M}} (b,y,z) \cdot \begin{bmatrix} dydz \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{equation}$ donde usamos

\hat{x} d y d z

$\mathbf{\hat{x}} dy dz$ como un vector de columna (aquí "sombrero" significa versor). Si

M_{1} (x, y, z)

$\mathbf{M}_1 (x,y,z)$ es el campo vectorial que obtenemos tomando la primera columna de la matriz

M

${\sf{M}}$ , podemos escribir el flujo a través de las dos superficies de esta manera

\int_{mi}^{F} \int_{C}^{d} [{METRO}_{1} (b, y, z) - {METRO}_{1} (a, y, z)] d y d z

$\begin{equation} \int_e^f \int_c^d [ \mathbf{M}_1 (b,y,z) - \mathbf{M}_1 (a,y,z) ] dydz \end{equation}$ Integrando es un vector que se puede escribir de esta manera

[\begin{matrix} {METRO}_{X X} (b, y, z) - {METRO}_{X X} (a, y, z) \\ {METRO}_{y X} (b, y, z) - {METRO}_{y X} (a, y, z) \\ {METRO}_{z X} (b, y, z) - {METRO}_{z X} (a, y, z) \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} M_{xx} (b,y,z) - M_{xx} (a,y,z) \\ M_{yx} (b,y,z) - M_{yx} (a,y,z) \\ M_{zx} (b,y,z) - M_{zx} (a,y,z) \end{bmatrix} \end{equation}$ Y explotando el teorema fundamental del cálculo podemos escribir

[\begin{matrix} \int_{a}^{b} \frac{\partial {METRO}_{X X} (X, y, z)}{\partial X} d X \\ \int_{a}^{b} \frac{\partial {METRO}_{y X} (X, y, z)}{\partial X} d X \\ \int_{a}^{b} \frac{\partial {METRO}_{z X} (X, y, z)}{\partial X} d X \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} \int_a^b \frac{\partial M_{xx} (x,y,z) }{\partial x} dx \\ \int_a^b \frac{\partial M_{yx} (x,y,z) }{\partial x} dx \\ \int_a^b \frac{\partial M_{zx} (x,y,z) }{\partial x} dx \end{bmatrix} \end{equation}$ Cual es

\int_{a}^{b} \frac{\partial M_{1}}{\partial x} d x

$\int_a^b \frac{\partial \mathbf{M}_1}{\partial x} dx$ . Sustituyendo vemos que el flujo a través de dos superficies se puede escribir

\int_{V} \frac{\partial M_{1}}{\partial x} d V

$\int_V \frac{\partial \mathbf{M}_1}{\partial x} dV$ . De manera similar podemos encontrar el flujo a través de otros pares de lados: el flujo total a través del paralelepípedo es

\int_{V} (\frac{\partial {METRO}_{1}}{\partial X} + \frac{\partial {METRO}_{2}}{\partial y} + \frac{\partial {METRO}_{3}}{\partial z}) d V

$\begin{equation} \int_V \left( \frac{\partial \mathbf{M}_1}{\partial x} + \frac{\partial \mathbf{M}_2}{\partial y} + \frac{\partial \mathbf{M}_3}{\partial z} \right) dV \end{equation}$ Para finalizar la prueba solo tenemos que demostrar que el integrando es igual al vector que simbólicamente escribimos como

\nabla \cdot M

$\nabla \cdot {\sf{M}}$ . Es decir, tenemos que demostrar que

\frac{\partial {METRO}_{1}}{\partial X} + \frac{\partial {METRO}_{2}}{\partial y} + \frac{\partial {METRO}_{3}}{\partial z} = [\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial X} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \end{matrix}] [\begin{array}{ccc} {METRO}_{1} & {METRO}_{2} & {METRO}_{3} \end{array}]

$\begin{equation} \frac{\partial \mathbf{M}_1}{\partial x} + \frac{\partial \mathbf{M}_2}{\partial y} + \frac{\partial \mathbf{M}_3}{\partial z} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} \left[ \begin{array}{c|c|c} & & \\ \displaystyle \mathbf{M}_1 & \displaystyle \mathbf{M}_2 & \displaystyle \mathbf{M}_3 \\ & & \\ \end{array} \right] \end{equation}$ A primera vista esto parece incorrecto, pero

M

${\sf{M}}$ es simétrica por hipótesis por lo que la ecuación funciona. Si eres escéptico acerca de esta conclusión, aquí la prueba. En el miembro izquierdo tenemos la suma de tres vectores:

[\frac{\partial {METRO}_{X X}}{\partial X} + \frac{\partial {METRO}_{X y}}{\partial y} + \frac{\partial {METRO}_{X z}}{\partial z}, \frac{\partial {METRO}_{y X}}{\partial X} + \frac{\partial {METRO}_{y y}}{\partial y} + \frac{\partial {METRO}_{y z}}{\partial z}, \frac{\partial {METRO}_{z X}}{\partial X} + \frac{\partial {METRO}_{z y}}{\partial y} + \frac{\partial {METRO}_{z z}}{\partial z}]

$\begin{equation} \left[ \frac{\partial M_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial M_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial M_{xz}}{\partial z} , \frac{\partial M_{yx}}{\partial x} + \frac{\partial M_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial M_{yz}}{\partial z} , \frac{\partial M_{zx}}{\partial x} + \frac{\partial M_{zy}}{\partial y} + \frac{\partial M_{zz}}{\partial z} \right] \end{equation}$ mientras que en el segundo miembro tenemos el producto entre un vector (como hacemos en el análisis vectorial ordinario, es útil usar el simbolismo de tratar

\nabla

$\nabla$ como un vector) y una matriz:

[\frac{\partial {METRO}_{X X}}{\partial X} + \frac{\partial {METRO}_{y X}}{\partial y} + \frac{\partial {METRO}_{z X}}{\partial z}, \frac{\partial {METRO}_{X y}}{\partial X} + \frac{\partial {METRO}_{y y}}{\partial y} + \frac{\partial {METRO}_{z y}}{\partial z}, \frac{\partial {METRO}_{X z}}{\partial X} + \frac{\partial {METRO}_{y z}}{\partial y} + \frac{\partial {METRO}_{z z}}{\partial z}]

$\begin{equation} \left[ \frac{\partial M_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial M_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial M_{zx}}{\partial z} , \frac{\partial M_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial M_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial M_{zy}}{\partial z} , \frac{\partial M_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial M_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial M_{zz}}{\partial z} \right] \end{equation}$ si la matriz es simétrica (

M_{i j} = M_{j i}

$M_{ij}=M_{ji}$ ) estas dos expresiones son iguales. Esto demuestra que la ecuación anterior es una identidad y la prueba está terminada.

El cálculo del momento del campo electromagnético.

La fuerza electromagnética que actúa sobre las cargas en volumen. $V$ es

F = \int_{V} (mi + tu \times B) ρ d τ = \int_{V} (ρ mi + j \times B) d τ

$\begin{equation} \mathbf{F} = \int_V (\mathbf{E} + \mathbf{u} \times \mathbf{B}) \rho d \tau = \int_V ( \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B} ) d \tau \end{equation}$ la fuerza por unidad de volumen es

F = ρ mi + j \times B

$\begin{equation} \mathbf{f} = \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B} \end{equation}$ Explotando las ecuaciones de Maxwell, es posible eliminar las fuentes a favor del campo. Te mostraré cómo hacerlo ahora. Usando la primera y última ecuación de Maxwell tenemos

F = ϵ_{0} (\nabla \cdot mi) mi + (\frac{1}{m_{0}} \nabla \times B - ϵ_{0} \frac{\partial mi}{\partial t}) \times B

$\begin{equation} \mathbf{f} = \epsilon_0 ( \nabla \cdot \mathbf{E} ) \mathbf{E} + \left( \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \mathbf{B} - \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \times \mathbf{B} \end{equation}$ Ahora,

\frac{\partial}{\partial t} (mi \times B) = (\frac{\partial mi}{\partial t} \times B) + (mi \times \frac{\partial B}{\partial t})

$\begin{equation} \frac{\partial }{\partial t} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) = \left( \frac{\partial \mathbf{E} }{\partial t} \times \mathbf{B} \right) + \left( \mathbf{E} \times \frac{\partial \mathbf{B} }{\partial t} \right) \end{equation}$ Entonces, al explotar la ley de Faraday, podemos reorganizar de esta manera

\frac{\partial mi}{\partial t} \times B = \frac{\partial}{\partial t} (mi \times B) + mi \times (\nabla \times mi)

$\begin{equation} \frac{\partial \mathbf{E} }{\partial t} \times \mathbf{B} = \frac{\partial }{\partial t} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) + \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E}) \end{equation}$ Sustituyendo tenemos

F = ϵ_{0} [(\nabla \cdot mi) mi - mi \times (\nabla \times mi)] - \frac{1}{m_{0}} [B \times (\nabla \times B)] - ϵ_{0} \frac{\partial}{\partial t} (mi \times B)

$\begin{equation} \mathbf{f} = \epsilon_0 \left[ (\nabla \cdot \mathbf{E}) \mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E}) \right] -\frac{1}{\mu_0} \left[ \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{B}) \right] - \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \end{equation}$ Correcto para hacer las cosas más simétricas que podemos incluir en un término

\frac{1}{μ_{0}} (\nabla \cdot B) B

$\frac{1}{\mu_0} (\nabla \cdot \mathbf{B})\mathbf{B}$ (es lo mismo: el campo magnético es solenoidal). Ahora observe que aplicando al mismo vector

A

$\mathbf{A}$ la identidad vectorial

\nabla (A \cdot B) = A \times (\nabla \times B) + B \times (\nabla \times A) + (A \cdot \nabla) B + (B \cdot \nabla) A

$\begin{equation} \nabla (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A}) + ( \mathbf{A} \cdot \nabla )\mathbf{B} + ( \mathbf{B} \cdot \nabla )\mathbf{A} \end{equation}$ nos permitirá escribir

- A \times (\nabla \times A) = - \frac{1}{2} \nabla (A^{2}) + (A \cdot \nabla) A

$\begin{equation} - \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{A}) = - \frac{1}{2} \nabla (A^2) + (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{A} \end{equation}$ Todo esto nos permite escribir la ecuación anterior de esta manera

\begin{aligned} F = & ϵ_{0} [(\nabla \cdot mi) mi + (mi \cdot \nabla) mi] - \frac{1}{m_{0}} [(\nabla \cdot B) B + (B \cdot \nabla) B] \\ - \frac{1}{2} \nabla (ϵ_{0} {mi}^{2} + \frac{1}{m_{0}} B^{2}) - ϵ_{0} \frac{\partial}{\partial t} (mi \times B) \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \mathbf{f} = & \epsilon_0 \left[ (\nabla \cdot \mathbf{E}) \mathbf{E} + (\mathbf{E} \cdot \nabla ) \mathbf{E} \right] - \frac{1}{\mu_0} \left[ (\nabla \cdot \mathbf{B}) \mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla ) \mathbf{B} \right] \\ & - \frac{1}{2} \nabla \left( \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2 \right) - \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \end{split} \end{equation}$ A pesar de las simetrías, esta expresión es fea. La belleza reina en la ley fundamental de la naturaleza por lo que debe ser posible escribir la ecuación de una manera mejor y más clara. Viene a nuestro rescate el tensor de Maxwell que escribimos antes y la idea de usar el operador

\nabla

$\nabla$ como si fuera un vector. Haciendo producto escalar entre

\nabla

$\nabla$ y el tensor de Maxwell obtenemos el segundo miembro de la ecuación escrita arriba (término menor con derivada temporal)

\begin{aligned} \nabla \cdot T = & ϵ_{0} [(\nabla \cdot mi) mi + (mi \cdot \nabla) mi] - \frac{1}{m_{0}} [(\nabla \cdot B) B + (B \cdot \nabla) B] \\ - \frac{1}{2} \nabla (ϵ_{0} {mi}^{2} + \frac{1}{m_{0}} B^{2}) \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \nabla \cdot {\sf{T}} = & \epsilon_0 \left[ (\nabla \cdot \mathbf{E}) \mathbf{E} + (\mathbf{E} \cdot \nabla ) \mathbf{E} \right] - \frac{1}{\mu_0} \left[ (\nabla \cdot \mathbf{B}) \mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla ) \mathbf{B} \right] \\ & - \frac{1}{2} \nabla \left( \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2 \right) \end{split} \end{equation}$ Comprobemos que esto es cierto: tendremos cuidado en el único

x

$x$ coordenada (por razones simétricas funcionarán otras coordenadas). El

x

$x$ coordenada del segundo miembro de la ecuación anterior es

\begin{aligned} ϵ_{0} [(\frac{\partial {mi}_{X}}{\partial X} + \frac{\partial {mi}_{y}}{\partial y} + \frac{\partial {mi}_{z}}{\partial z}) {mi}_{X} + {mi}_{X} \frac{\partial {mi}_{X}}{\partial X} + {mi}_{y} \frac{\partial {mi}_{X}}{\partial y} + {mi}_{z} \frac{\partial {mi}_{X}}{\partial z}] \\ + \frac{1}{m_{0}} [(\frac{\partial B_{X}}{\partial X} + \frac{\partial B_{y}}{\partial y} + \frac{\partial B_{z}}{\partial z}) B_{X} + B_{X} \frac{\partial B_{X}}{\partial X} + B_{y} \frac{\partial B_{X}}{\partial y} + B_{z} \frac{\partial B_{X}}{\partial z}] \\ - \frac{ϵ_{0}}{2} \frac{\partial ({mi}_{X}^{2} + {mi}_{y}^{2} + {mi}_{z}^{2})}{\partial X} - \frac{1}{2 m_{0}} \frac{\partial (B_{X}^{2} + B_{y}^{2} + B_{z}^{2})}{\partial X} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} & \epsilon_0 \left[ \left( \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} \right) E_x + E_x \frac{\partial E_x}{\partial x} + E_y \frac{\partial E_x}{\partial y} + E_z \frac{\partial E_x}{\partial z} \right] \\ & + \frac{1}{\mu_0} \left[ \left( \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} \right) B_x + B_x \frac{\partial B_x}{\partial x} + B_y \frac{\partial B_x}{\partial y} + B_z \frac{\partial B_x}{\partial z} \right] \\ & - \frac{\epsilon_0}{2} \frac{\partial (E_x^2 + E_y^2 + E_z^2)}{\partial x} - \frac{1}{2 \mu_0} \frac{\partial (B_x^2 + B_y^2 + B_z^2)}{\partial x} \end{split} \end{equation}$ Mientras que la

x

$x$ coordenada del primer miembro (es decir, el "producto escalar" entre

\nabla

$\nabla$ y la primera columna del tensor de Maxwell es)

\begin{aligned} \frac{ϵ_{0}}{2} \frac{\partial ({mi}_{X}^{2} - {mi}_{y}^{2} - {mi}_{z}^{2})}{\partial X} + \frac{1}{2 m_{0}} \frac{\partial (B_{X}^{2} - B_{y}^{2} - B_{z}^{2})}{\partial X} \\ + ϵ_{0} \frac{\partial ({mi}_{X} {mi}_{y})}{\partial y} + \frac{1}{m_{0}} \frac{\partial (B_{X} B_{y})}{\partial y} - ϵ_{0} \frac{\partial ({mi}_{X} {mi}_{z})}{\partial z} + \frac{1}{m_{0}} \frac{\partial (B_{X} B_{z})}{\partial z} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} & \frac{\epsilon_0}{2} \frac{\partial (E_x^2 - E_y^2 - E_z^2)}{\partial x} + \frac{1}{2 \mu_0} \frac{\partial (B_x^2 - B_y^2 - B_z^2)}{\partial x} \\ & + \epsilon_0 \frac{ \partial ( E_x E_y)}{\partial y} + \frac{1}{\mu_0} \frac{ \partial ( B_x B_y)}{\partial y} - \epsilon_0 \frac{ \partial ( E_x E_z)}{\partial z} + \frac{1}{\mu_0} \frac{ \partial ( B_x B_z)}{\partial z} \end{split} \end{equation}$ El lector puede verificar fácilmente que los dos términos son iguales (por simplicidad, debido a la simetría podemos concentrarnos en un solo campo, por ejemplo

E

$E$ ). Ahora estamos listos para escribir la ecuación "fea" de una manera hermosa y compacta:

F = - ϵ_{0} m_{0} \frac{\partial S}{\partial t} + \nabla \cdot T

$\begin{equation} \mathbf{f} = - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t} + \nabla \cdot {\sf{T}} \end{equation}$ donde también usamos el vector de Poynting. explotando

c = \frac{1}{\sqrt{ϵ_{0} μ_{0}}}

$c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}$ e integrando sobre el volumen tenemos

\frac{d pag}{d t} = - \frac{d}{d t} \int_{V} \frac{S}{C^{2}} d τ + \oint_{S} T \cdot d a

$\begin{equation} \frac{d\mathbf{p}}{dt} = - \frac{d}{dt} \int_V \frac{\mathbf{S}}{c^2} d \tau +\oint_S {\sf{T}} \cdot d \mathbf{a} \end{equation}$ donde explotamos el "Teorema de la divergencia alternativa". Ahora regrese a lo que escribí en la sección "Una forma interesante de describir la conservación del momento", y reflexione: la prueba ha terminado:

Densidad de momento: $\frac{\mathbf{S}}{c^2}$
Densidad de corriente de momento: $- {\sf{T}}$

¿Por qué el tensor de Maxwell no se define con signo invertido? Probablemente esto se deba a una desafortunada convención histórica. Si queremos expresar el momento del campo como una función de los campos, obviamente tenemos Esto se puede explotar para mostrar que para las ondas electromagnéticas tenemos $E=pc$ (No es un caso que este sea el mismo vínculo entre energía y cantidad de movimiento que tenemos para las partículas relativistas extremas).

un comentario final

Tenga en cuenta que lo que encontramos adolece de abstracción y da problemas: este teorema del momento (como el teorema de Poynting también) es general, no solo para ondas electromagnéticas: no hicimos ninguna hipótesis especial sobre la naturaleza del campo (la única es que el obedecen a las ecuaciones de Maxwell). Esto conduce a problemas muy interesantes (¡pero también muy complicados!) relacionados con el momento oculto. Como vemos a menudo en física, cada vez que resuelves un problema te encuentras frente a problemas más difíciles y a un punto de reflexión extraño (y, por lo tanto, interesante) sobre el gran rompecabezas.

Muchas gracias por tu minuciosa respuesta. Como puede ver, hice la pregunta hace cinco años cuando acababa de terminar la escuela secundaria: ') Espero que esta respuesta sea útil para otros usuarios que se encuentren con esta publicación. Para tal lector, señalaría que mientras que el cálculo diferencial de Griffiths puede ser a veces abstracto, las conferencias de Feynman dan una muy buena intuición a este respecto. Además, cuestiones bastante sutiles como la unicidad de las expresiones para el momento/energía del campo, la paradoja del momento oculto que mencionas, etc., también se discuten muy bien en las conferencias de Feynman.
Encontré este teorema de divergencia "alternativo" en el libro de mecánica de fluidos de Cengel-Cimbala, donde se llama teorema de divergencia extendido. Resulta que también es muy útil en mecánica de fluidos: conduce a la ecuación de Cauchy. Es una pena que a este teorema no se le dé la prominencia adecuada que debería tener en la literatura. Lo encontré por primera vez en un libro años después de probármelo a mí mismo, ¡qué pérdida de tiempo! Se habla ad nauseam del teorema ordinario de la divergencia pero nadie habla del extendido.

Daniel Shapero · Answer 3

La sección 6.7 de Jackson da una buena explicación.

Un campo electromagnético puede cambiar la energía mecánica, el momento lineal y el momento angular de un conjunto de cargas. En particular, el cambio de cantidad de movimiento viene dado por la ley de fuerza de Lorentz

$\mathbf F = q(\mathbf E +\mathbf v\times\mathbf B)$ ,

o, para una distribución continua de cargas, la densidad de fuerza es

$\mathbf f = \rho\mathbf E+\mathbf J\times\mathbf B$ .

Sin embargo, esas cargas tienen sus propios campos electromagnéticos. Al cambiar el momento lineal de las cargas, sus campos electromagnéticos cambian. Dejar $\mathbf P$ sea la densidad de momento mecánico de las cargas; a través de algunos cálculos tediosos usando la última ecuación, las ecuaciones de Maxwell y un montón de identidades de cálculos vectoriales, se puede demostrar que

$\frac{d}{dt}\left(\mathbf P+\frac{\mathbf E\times \mathbf B}{c^2}\right) =$ divergencia del tensor de tensiones de Maxwell.

Si los campos llegan a cero en el infinito lo suficientemente rápido, puede integrar esta ecuación en todo el espacio y el lado derecho irá a cero por el teorema de la divergencia. Entonces, el momento mecánico total + algo es una cantidad conservada. Es razonable postular que ese "algo", $\mathbf E\times \mathbf B/c^2$ , es el impulso del campo electromagnético.

El mismo análisis puede llevarse a cabo examinando el par mecánico en el conjunto de cargas para encontrar el momento angular electromagnético.

Finalmente, puede ver esto en un nivel un poco más abstracto. En la mecánica clásica, puede utilizar el teorema de Noether para derivar la conservación de la energía, el momento lineal y el momento angular explotando la invariancia del Lagrangiano para, respectivamente, las traslaciones en el tiempo y el espacio y las rotaciones. El Lagrangiano para el campo electromagnético también es invariante a estas transformaciones; las cantidades conservadas resultantes son la energía de campo, el momento lineal y el momento angular.

SaltarArtista · Answer 4

El momento angular sigue la existencia del momento lineal. Quid de momento lineal entonces?

Ofrezco el siguiente punto de vista sin matemáticas.

El conocido hecho experimental de que la luz posee propiedades mecánicas se remonta al principio de conservación de la energía junto con el principio de relatividad.

Existen a priori diferentes formas de conservar la energía. Por ejemplo: lo que se destruye en el punto A, puede reaparecer en cualquier lugar en el punto B instantáneamente de modo que se conserve la energía total del universo.

Sin embargo, la noción de "instantáneamente" es relativa al observador y otro en un marco en movimiento no verá los dos eventos simultáneamente y se violaría el principio de conservación de energía para él. Por lo tanto, para satisfacer también los conceptos detrás del principio de relatividad, la energía electromagnética no se puede conservar globalmente, sino localmente, lo que significa que lo que desapareció en A, tiene que fluir a través de los límites infinitesimales que rodean a A, esta es la esencia del teorema de Poynting. Y este flujo de energía es, en pocas palabras, un impulso lineal. En relatividad, el momento lineal (espacio) y la energía (tiempo) son dos componentes de la misma cantidad física (cuatro vectores energía-momento).

usuario280564 · Answer 5

Esto se puede demostrar con bastante facilidad. Supongamos que tenemos dos condensadores en una caja. Cargamos uno completamente y dejamos el otro descargado. Luego descargamos el primero, usamos su energía para alimentar un láser y usamos un pulso del láser para proporcionar energía para cargar el otro. Porque $E=mc^2$ , el centro de masa de la caja ha cambiado con respecto a una marca fija en la caja. El centro de masa en realidad no puede moverse debido a la conservación del momento, por lo que debe haber un retroceso del láser transmisor, que se transmite a la caja.

¿Cómo los campos eléctricos o magnéticos contienen impulso?

youpilat13

Emilio Pisanty

Respuestas (5)

Emilio Pisanty

fausto vezzaro

Densidad de corriente de momento

Una forma interesante de describir la conservación del momento

Vector de Poynting y definición del tensor de Maxwell

Teorema de la divergencia alternativa

Prueba del teorema de la divergencia alternativa

El cálculo del momento del campo electromagnético.

un comentario final

youpilat13

fausto vezzaro

Daniel Shapero

SaltarArtista

usuario280564

Problemas con la ley de fuerza de Lorentz: ¿incompatibilidad con la relatividad especial y la conservación del momento?

¿Se conserva el momento canónico cuando una partícula se mueve en un campo magnético?

Impulso oculto

Primer teorema de Noether y demostración clásica de la conservación de la carga eléctrica

La tercera ley de Newton en campos magnéticos.

La fuerza de Lorentz y la violación de la conservación aparente del momento son útiles para la fuerza unidireccional?

¿Son siempre verdaderas estas leyes de conservación?

Violación de la conservación del momento angular

Duda sobre el tensor de tensión de Maxwell

Conservación de la cantidad de movimiento en la carga en movimiento