Equilibrio de una torre de bloques 2-d

En la imagen de abajo,

  • Todos los bloques son sin fricción e idénticos con el lado de la unidad de longitud, altura h , peso w y centro de gravedad en sus centros geométricos.
  • Los 2 bloques más bajos están en tierra firme.
  • Se da la distancia desde la esquina de cada bloque hasta el punto medio del lado inferior de la caja encima de él (a saber a 1 , a 2 , b 1 , b 2 ).
  • efectivo F a C y F b C son las fuerzas de reacción resultantes ejercidas por bloques A & B en C .configuración de bloque

Me interesa el comportamiento de estos bloques inmediatamente después de ponerlos en esta configuración y liberarlos, o más específicamente: ¿Para qué relación entre a 1 , a 2 , b 1 & b 2 :

  • hacer A , B y C mover?- caso 1
  • hacer solo A y C ¿mover? - caso 2
  • hacer solo B y C mover?- caso 3
  • ¿La configuración es estable (no cambia en absoluto una vez establecida en esta condición y luego abandonada)? - caso 4

Para aquellos interesados, aquí está mi enfoque y lo que (creo) ya sé:

En un intento por encontrar las condiciones limitantes (las condiciones limítrofes entre el equilibrio y el no equilibrio), asumí que inicialmente C tenderá a estar en equilibrio. (No tengo una justificación rigurosa para esta suposición, solo una corazonada de que "aquí no es donde está el problema"). Bajo esta condición, F a C & F b C se pueden calcular, y los momentos debidos a sus "iguales y opuestos" ( F C a & F C b ) acerca de PAG 1 y PAG 2 se puede obtener como:

METRO C a ( X , y ) = w ( .5 + a 1 − a 2 − X ) / ( X / y + 1 )
METRO C b ( y , X ) = w ( .5 + b 1 − b 2 − y ) / ( y / X + 1 )
dónde X & y son las distancias perpendiculares de las respectivas fuerzas desde el centro de C .

Con un poco de lógica ad-hoc e inestable, aquí está lo que llegué:

  • cuando

    w ⋅ a 2 < METRO C a ( .5 , .5 ) & w ⋅ b 2 < METRO C b ( .5 , .5 )
    caso-1 ocurre con A & B conmovedor C sólo a través de sus vértices.

  • cuando

    w ⋅ a 2 = METRO C a ( X 1 , .5 ) & w ⋅ b 2 < METRO C b ( .5 , X 1 )
    dónde a 1 ⩽ X 1 < .5 caso-1 ocurre con C girando con A manteniendo una superficie de contacto con A pero sólo un punto de contacto con B , pero si
    w ⋅ a 2 = METRO C a ( X 1 , .5 ) & w ⋅ b 2 ⩾ METRO C b ( .5 , X 1 )
    la configuración es estable (caso-4).

  • cuando

    w ⋅ a 2 > METRO C a ( a 1 , .5 ) & w ⋅ b 2 < METRO C b ( .5 , a 1 )
    ocurre el caso 3, pero si
    w ⋅ a 2 > METRO C a ( a 1 , .5 ) & w ⋅ b 2 < METRO C b ( .5 , a 1 )
    la configuración es estable (caso-4) .

  • Las condiciones anteriores con a & b intercambiados junto con sus correspondientes variables.

Pero no tengo forma de verificar esto o proporcionar un argumento satisfactorio para estas condiciones, especialmente las partes escritas en negrita (llegué a esto poniendo varias combinaciones de argumentos para METRO C a & METRO C b & pensando en lo que sucedería en cada caso). ¿Es correcto este conjunto de condiciones?. ¿Cuál sería un buen enfoque con una progresión lógica de pasos para resolverlo?

Las fuerzas siempre aparecen en los bordes del contacto.

Respuestas (2)

Respuesta revisada

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Los bloques A, B y C son idénticos, por lo que los casos 2 y 3 son iguales. En el caso 1, los bloques A y B giran alrededor de P1 y P2 al mismo tiempo, mientras que C se apoya igualmente en P5 y P3. En el caso 2 (ilustrado en el diagrama anterior), el bloque C gira alrededor de P4 mientras también toca A en P5. Supongo que el caso 4 significa que no se mueve ningún bloque, por lo que esto es lo mismo que decir que no se aplica ninguno de los casos 1 o 2.

En el caso 1, si los 2 bloques en la base no están más separados que 1 + 2 h , dónde h es la altura de cada bloque - es decir, si ( a 1 + b 1 ) − ( a 2 + b 2 ) < 2 h - entonces el bloque C no caerá al suelo. Del mismo modo, en el caso de 2 bloques A y C pueden atascarse cuando la cara final de C está plana contra la cara superior de A. Estas complicaciones añaden restricciones adicionales si "inestable" significa que el bloque C llega al suelo. Para simplificar, asumo que "inestable" significa que los bloques se mueven desde la posición inicial a alguna configuración diferente.

Su enfoque es correcto pero necesita completarlo. Eliminar w de sus desigualdades sustituyendo METRO , asignar X y y sus valores extremos como en el 1er párrafo, y reorganizar para obtener desigualdades relacionadas solo a 1 , a 2 , b 1 y b 2 .

Creo que su preocupación es que no hay suficientes ecuaciones que le permitan encontrar valores límite de cada una de las 4 variables de forma independiente. Esto es inevitable porque no hay suficientes restricciones en el problema. Cada una de las 4 variables se puede ajustar de forma independiente, mientras que solo hay 2 desigualdades para cada modo (caso) de derribo, que surgen del balanceo de momentos en P1 y P2.

Para el caso 1 las proporciones r a = a 1 a 2 y r b = b 1 b 2 cada uno debe ser menor que el mismo entero constante.

Para el caso 2 las proporciones r a y r b cada uno debe ser menor que un valor crítico que depende de b 1 solo, un valor crítico diferente para cada uno.

La pregunta final es cómo representar las condiciones de estabilidad. Esto se puede hacer en un gráfico 3D de ( r a , r b , b 1 ) , o en gráficos 2D de ( r a , r b ) para valores seleccionados de b 1 , que puede variar de 0 a 1 2 , o gráficos 2D de ( r a , b 1 ) y ( r b , b 1 ) . Los límites son proporcionados por las desigualdades anteriores. La región estable se encuentra entre los límites y el origen.

Estoy de acuerdo y estoy al tanto de la mayor parte de lo que ha dicho (¿el caso tridimensional será realmente un poliedro o algo más complicado con superficies curvas?). Pero creo que lo que quise preguntar fue cómo hacemos exactamente para encontrar y representar estas desigualdades de 4 dimensiones.
también hay otro problema de cómo X y y acercarse a las condiciones límite. por ejemplo, qué sucede cuando w ⋅ a 2 < METRO C a ( .5 , b 1 ) y METRO C b ( .5 , .5 ) < w ⋅ b 2 < METRO C b ( b 1 , .5 ) Siento que el caso 1 puede ocurrir, pero ¿cómo puedo formular un argumento matemático para esta y otras situaciones similares?
es decir, siento que y enfoques b 1 en lugar de .5 pero no tienen un argumento concreto para ello.
Creo que primero deberías eliminar METRO y w para que puedas ver tus desigualdades en términos de solo las 4 variables a 1 a b 2 . Entonces quedará más claro cuáles son los problemas.
No lo he publicado en línea en aras de la brevedad (mi pregunta ya es demasiado larga), pero como dije mientras lo resolvía, eliminé w y METRO y saber que en realidad son solo las cuatro cantidades a 1 , a 2 , b 1 & b 2 que están en juego.
¿Podría explicar un poco en detalle cómo obtuvo las condiciones para los casos 1 y 2? para la condición del caso 1, ¿incluye el posible subcaso cuando C gira con A y gira sobre PAG 3 o gira con B y gira sobre PAG 5 ? (por supuesto en este caso C también se deslizará en el bloque con el que gira, pero como solo estoy interesado en el primer instante, el deslizamiento no jugará un papel, supongo).
Ese es un buen punto acerca de que A y C se mueven juntos. No, no había pensado en eso, así que no está incluido en mis condiciones. Volveré a examinar mi solución. ¿Por qué no publica su solución como respuesta a su propia pregunta?
no tengo solucion
Es probable que se eliminen las respuestas completas a "ejercicios tipo tarea". Es mejor si publica una solución completa como parte de su pregunta y pregunta qué le hace dudar de su corrección. Complete el cálculo y vea lo que obtiene. ¿Qué te detiene?... Volviendo a tu sugerencia de que, por ejemplo, C y B podrían pivotar juntos alrededor de P2, creo que esto no puede suceder a menos que C y B estén pegados a lo largo del área de contacto P3P4. De lo contrario, un cambio infinitesimal en la reacción en P5 obligará al pivote de C a establecerse en P3 o P4.
No conocía esta política. Haré lo que sugieres. mi pregunta no será bloqueada por ser larga, ¿verdad? (ya que incluir una solución complicada como esta hará que una pregunta sea bastante larga).
No, no existe una política sobre la eliminación de preguntas largas. He visto algunos muy largos. No necesita incluir cada paso en el cálculo, solo lo suficiente para indicar cómo obtuvo la respuesta.

no es una respuesta

Este es un problema muy interesante, pero creo que encontrar las configuraciones en las que la elevación del punto de contacto "posterior" no es suficiente para la inestabilidad. Por ejemplo, la siguiente configuración es estable:

Foto

Esto se debe a que el bloque del medio a la derecha está "pellizcado" por los otros bloques y la fricción puede sostenerlo. ¿Hay alguna razón por la que está buscando solo sin fricción? Creo que esto es demasiada simplificación sin fricción.

También debe considerar que las rotaciones de ángulo pequeño cambian el problema considerablemente. Nuevamente, en la situación anterior, si el bloque superior no empuja hacia abajo al bloque central de la derecha, entonces se va a caer. Pero, si el bloque superior tiene un ángulo pequeño y establece contacto, puede terminar en un escenario estable.

Por estabilidad quiero decir que no cambia en absoluto de la configuración que se muestra en la pregunta si de alguna manera configuro para configurarlo de esa manera y luego lo dejo de repente. (Sin embargo, solo por el bien del argumento, no necesita fricción para que sea estable en su imagen).
Sin fricción, el bloque derecho del medio se deslizará hacia la izquierda y finalmente se saldrá de su lugar. Por lo tanto, inestable!
si su cg se encuentra más allá del borde, entonces definitivamente es inestable. Pero si no, entonces el momento debido a su propio peso sobre el punto de pivote puede cancelar el momento debido a la fuerza ejercida por C , las componentes horizontales de las fuerzas de reacción de la caja debajo de ella y la caja C puede cancelarse y sus componentes verticales pueden contrarrestar su peso para que sea estable, ¿no?
@alex Estás describiendo la situación en el bloque central izquierdo. Mi punto es para el bloque del medio a la derecha: sin fricción = inestable, con fricción = estable. Entonces, comprender la estabilidad sin fricción es poco realista y engañoso.
No veo por qué la misma lógica no se aplica al bloque central derecho. También quiero asegurarme de que quede claro que, fuera de esta discusión, mi definición de estable es "no se mueve ni un poco el instante después de que se deja en la configuración que se muestra en la pregunta". durante este tiempo infinitesimalmente corto, dudo que algún desliz juegue algún papel.
Equilibrio de una torre de bloques 2-d
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