¿Qué fuerzas se ejercen sobre una pinza de ropa en el espacio?

Question

¿Qué fuerzas se ejercen sobre una pinza de ropa en el espacio?

Mate

Digamos que una pinza de ropa se modela como un simple resorte de torsión de la siguiente manera.

Dado:

$p_1,\ p_2,\ p_3$ : objetos puntuales de igual masa en un espacio bidimensional.
Todos los objetos flotan en el espacio, es decir, el centro de masa no cambiará.
En el momentose inserta un resorte de torsión en, tal que ejerce un par sobrey, con:
- $\theta$ : el ángulo de torsión desde su posición de equilibrio en radianes
- $\kappa$ : el coeficiente de torsión del resorte
- $\tau = -\kappa \theta$ es el par ejercido por el resorte

Pregunta: ¿Cuáles son las fuerzas resultantes sobre $p_1$ , $p_2$ y $p_3$ ?

Mi respuesta: debido a que todos los objetos tienen la misma masa, podemos dejar la masa fuera de la ecuación. F2 es una fuerza perpendicular a $p_1,\ p_2$ de magnitud $\dfrac{\tau }{ |p_1-p_2|}$ .

Por la tercera ley de Newton, F2' es una fuerza de igual magnitud y dirección opuesta a F2 Similar para F3 y F3'

Resorte de torsión en p1 que ejerce un par en p2 y p3

Mate

Solo me gustaría agregar que no tengo experiencia en física. No sé si mi respuesta es correcta, si me faltan algunas variables de entrada o si me falta alguna ley física.

Juan Alexiou

Hola, intente usar sintaxis matemática en sus publicaciones para una mejor legibilidad. Vea el [?]botón de ayuda cuando edite la publicación.

Juan Alexiou

Buen problema. Recuerde que las barras de pinzas de ropa transmiten fuerzas además de momentos. Son esencialmente vigas (sin masa).

Mate

Después de hablar con un amigo, entiendo que es importante tener en cuenta que esta pregunta es independiente del tiempo: solo me importan las fuerzas en el momento t0.

Respuestas (1)

¿Qué fuerzas se ejercen sobre una pinza de ropa en el espacio?

Solo me gustaría agregar que no tengo experiencia en física. No sé si mi respuesta es correcta, si me faltan algunas variables de entrada o si me falta alguna ley física.
Hola, intente usar sintaxis matemática en sus publicaciones para una mejor legibilidad. Vea el [?]botón de ayuda cuando edite la publicación.
Buen problema. Recuerde que las barras de pinzas de ropa transmiten fuerzas además de momentos. Son esencialmente vigas (sin masa).
Después de hablar con un amigo, entiendo que es importante tener en cuenta que esta pregunta es independiente del tiempo: solo me importan las fuerzas en el momento t0.

Juan Alexiou · Answer 1

Si $\theta$ es el ángulo entre los brazos, desplazados del equilibrio $\theta_0$ por $\Delta \theta$ y el torque aplicado es $\tau =-\kappa \Delta \theta$ , suponiendo masas iguales de $m$ con partes inicialmente inmóviles.

El primer paso es la cinemática, mientras que la aceleración de 2y 3está relacionada con la aceleración de 1y el ángulo común. Para simplificar tenemos que 1no acelera en la dirección horizontal $\ddot{x}_1=0$ (como se ve en la figura siguiente).

Foto 1

\begin{aligned} {\ddot{X}}_{2} & = {\ddot{X}}_{1} - ℓ porque (\frac{θ}{2}) \frac{\ddot{θ}}{2} & {\ddot{X}}_{3} & = {\ddot{X}}_{1} + ℓ porque (\frac{θ}{2}) \frac{\ddot{θ}}{2} \\ {\ddot{y}}_{2} & = {\ddot{y}}_{1} + ℓ pecado (\frac{θ}{2}) \frac{\ddot{θ}}{2} & {\ddot{y}}_{3} & = {\ddot{y}}_{1} + ℓ pecado (\frac{θ}{2}) \frac{\ddot{θ}}{2} \end{aligned}

$\begin{aligned} \ddot{x}_2 &= \ddot{x}_1 - \ell \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) \frac{ \ddot{\theta}}{2} & \ddot{x}_3 &= \ddot{x}_1 + \ell \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) \frac{ \ddot{\theta}}{2} \\ \ddot{y}_2 &= \ddot{y}_1 + \ell \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \frac{\ddot{\theta}}{2} & \ddot{y}_3 &= \ddot{y}_1 + \ell \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \frac{\ddot{\theta}}{2} \end{aligned}$

Ahora para las ecuaciones de movimiento de cada parte. Comenzamos con diagramas de cuerpo libre para sumar las fuerzas en cada parte.

Imagen2

\begin{aligned} - F r_{2} pecado (\frac{θ}{2}) + F r_{3} pecado (\frac{θ}{2}) + F {norte}_{2} porque (\frac{θ}{2}) + F {norte}_{3} porque (\frac{θ}{2}) & = metro {\ddot{X}}_{1} = 0 \\ - F r_{2} porque (\frac{θ}{2}) - F r_{3} porque (\frac{θ}{2}) + F {norte}_{2} pecado (\frac{θ}{2}) + F {norte}_{3} pecado (\frac{θ}{2}) & = metro {\ddot{y}}_{1} \end{aligned}

$\begin{aligned} -Fr_2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) + Fr_3 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) + Fn_2 \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) + Fn_3 \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) & = m \ddot{x}_1 = 0 \\ -Fr_2 \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) - Fr_3 \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) + Fn_2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) + Fn_3 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) &= m \ddot{y}_1 \end{aligned}$

Imagen3

Los MOE se realizan en una dirección a lo largo del brazo.

\begin{aligned} metro {\ddot{X}}_{2} porque (\frac{θ}{2}) - metro {\ddot{y}}_{2} pecado (\frac{θ}{2}) & = - F {norte}_{2} \\ metro {\ddot{y}}_{2} porque (\frac{θ}{2}) + metro {\ddot{X}}_{2} pecado (\frac{θ}{2}) & = F r_{2} \\ 0 & = ℓ F {norte}_{2} + τ \end{aligned}

$\begin{aligned} m \ddot{x}_2 \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) - m \ddot{y}_2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) &= -Fn_2 \\ m \ddot{y}_2 \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) + m \ddot{x}_2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) & = Fr_2 \\ 0 & =\ell Fn_2 + \tau \end{aligned}$ con

\Rightarrow F n_{2} = - \frac{τ}{ℓ}

$\Rightarrow Fn_2 =-\frac{\tau}{\ell}$ Foto4

\begin{aligned} metro {\ddot{X}}_{3} porque (\frac{θ}{2}) + metro {\ddot{y}}_{3} pecado (\frac{θ}{2}) & = - F {norte}_{3} \\ metro {\ddot{y}}_{3} porque (\frac{θ}{2}) - metro {\ddot{X}}_{3} pecado (\frac{θ}{2}) & = F r_{3} \\ 0 & = ℓ F {norte}_{3} - τ \end{aligned}

$\begin{aligned} m \ddot{x}_3 \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) + m \ddot{y}_3 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) &= -Fn_3 \\ m \ddot{y}_3 \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) - m \ddot{x}_3 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) & = Fr_3 \\ 0 & =\ell Fn_3 - \tau \end{aligned}$ con

\Rightarrow F n_{3} = \frac{τ}{ℓ}

$\Rightarrow Fn_3 =\frac{\tau}{\ell}$

Combinadas, todas las ecuaciones anteriores sustituidas en la cinemática son

\begin{aligned} - F {norte}_{2} porque (θ) + F r_{2} pecado (θ) - 2 F norte 3 & = metro ℓ \frac{\ddot{θ}}{2} \\ F r_{2} porque (θ) + F {norte}_{2} pecado (θ) + 2 F r_{3} & = 0 \\ - F {norte}_{3} porque (θ) - F r_{3} pecado (θ) + 2 F {norte}_{2} & = - metro ℓ \frac{\ddot{θ}}{2} \\ F r_{3} porque (θ) - F {norte}_{3} pecado (θ) + 2 F r_{2} & = 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} -Fn_2 \cos \left(\theta \right) + Fr_2 \sin \left(\theta \right) - 2 Fn3 &= m \ell \frac{\ddot{\theta}}{2} \\ Fr_2 \cos \left(\theta \right) + Fn_2 \sin \left(\theta \right) + 2 Fr_3 &= 0 \\ - Fn_3 \cos \left(\theta\right) - Fr_3 \sin \left(\theta \right) + 2 Fn_2 &= - m \ell \frac{\ddot{\theta}}{2} \\ Fr_3 \cos \left(\theta \right) - Fn_3 \sin \left(\theta \right) + 2 Fr_2 &= 0 \end{aligned}$

Lo anterior se resuelve con

\frac{3 τ (porque θ - 2)}{ℓ ({pecado}^{2} θ + 3)} = metro ℓ \frac{\ddot{θ}}{2}

$\boxed{\frac{3 \tau (\cos\theta-2)}{\ell (\sin^2\theta+3)} = m \ell \frac{\ddot{\theta}}{2}}$

y

\begin{aligned} F r_{2} & = \frac{τ pecado θ (2 - porque θ)}{ℓ ({pecado}^{2} θ + 3)} \\ F {norte}_{2} & = - \frac{τ}{ℓ} \\ F r_{3} & = \frac{τ pecado θ (2 - porque θ)}{ℓ ({pecado}^{2} θ + 3)} \\ F {norte}_{3} & = \frac{τ}{ℓ} \end{aligned}

$\begin{aligned} Fr_2 & = \frac{\tau \sin\theta ( 2-\cos\theta)}{\ell (\sin^2\theta+3)} \\ Fn_2 &= -\frac{\tau}{\ell} \\ Fr_3 &= \frac{\tau \sin\theta ( 2-\cos\theta)}{\ell (\sin^2\theta+3)} \\ Fn_3 &= \frac{\tau}{\ell} \end{aligned}$

¿Qué fuerzas se ejercen sobre una pinza de ropa en el espacio?

Mate

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Juan Alexiou

Juan Alexiou

Mate

Respuestas (1)

Juan Alexiou

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