Suponga que un libro de uniformes está sobre una mesa. El libro tiene una extensión . Pero no todo el libro está sobre la mesa, un poco sobresale de la mesa.
Obviamente, por experiencia, conseguimos que si , entonces el libro simplemente permanecerá en reposo. Si , entonces el libro experimentará un torque distinto de cero y eventualmente caerá.
Pero, ¿cómo obtenemos esta misma respuesta con la física? Aquí hay un primer intento que aparentemente no funciona. Supongamos por simplicidad que , entonces está descansando sobre la mesa.
El libro está experimentando una fuerza normal y una fuerza de peso. Para encontrar la fuerza de peso, es suficiente tomar una fuerza de peso en el centro del libro de magnitud . La contribución al par es entonces (dado que el centro de masa es lejos del borde de la mesa). Pero, ¿cómo encontrar el par que proviene de la fuerza normal? por la ley de Newton, la magnitud de la fuerza normal es igual a la magnitud del peso, a saber . Ahora trato de dividir el libro en componentes infinitesimales e integrar. yo obtengo
Entonces, ¿qué va mal? ¿La fuerza normal de alguna manera no es uniforme sobre la superficie de la mesa? Si no es uniforme, ¿cómo se distribuye y cómo resuelvo este problema usando la integración?
Por cierto, solo como información, sé cómo resolver este problema de la siguiente manera: si el libro es de alguna manera una palanca que descansa solo sobre el borde (y no sobre la mesa), entonces podemos resolver este problema muy fácilmente usando la ley. de la palanca y tal. Cuando hacemos esto, eventualmente encontramos que si , entonces el par debe ser "negativo". La fuerza de restricción de la mesa lo prohíbe y simplemente establece el par en . Lo siento si esto no tiene mucho sentido, pero de todos modos no es mi pregunta principal. Mi pregunta es por qué la respuesta de integración ingenua no funciona y si la fuerza normal de alguna manera no es uniforme.
No, la fuerza normal no se distribuye uniformemente en el área de contacto. Como muestra su cálculo, una distribución uniforme no es compatible con las condiciones de equilibrio.
El peso del libro se distribuye uniformemente porque su masa se distribuye uniformemente, pero no hay ninguna razón por la cual la reacción normal deba distribuirse también uniformemente. Esto se debe a que el libro es un cuerpo rígido, no una colección de masas idénticas desconectadas. Para masas desconectadas, la reacción normal en cada una sería igual al peso de cada una, que es lo mismo. Pero no habría fuerza para sostener la parte del libro que sobresale de la mesa. Un cuerpo rígido redistribuye las fuerzas internamente, de modo que la parte que sobresale de la mesa se apoya en la parte que está sobre la mesa.
Al igual que la fricción estática, la fuerza normal es una fuerza de reacción, una respuesta a otras fuerzas o restricciones. Siempre que sea posible, se ajusta para tomar el valor necesario para mantener el sistema en equilibrio o en un estado de movimiento definido. Esto incluye el equilibrio de pares así como de fuerzas. Aumenta hacia el borde de la mesa.
No es posible determinar cómo se distribuye la fuerza normal si el libro y la mesa permanecen perfectamente rígidos y planos. El problema es estáticamente indeterminado . Véase, por ejemplo , Un problema simple (?) de equilibrio estático .
Si el libro hace contacto en solo dos puntos, entonces podríamos resolver las dos condiciones de equilibrio (fuerza neta cero, par neto cero) para determinar la fuerza normal en cada una. Si el libro hace contacto en 3 o más puntos, no podemos encontrar la distribución de las fuerzas de reacción entre estos puntos, porque no tenemos suficientes ecuaciones de restricción. Si el contacto se realiza sobre un área finita, hay un número infinito de puntos de contacto y, por lo tanto, un número infinito de distribuciones posibles de la fuerza de reacción normal que son compatibles con las 2 condiciones de equilibrio.
Los libros y las mesas reales son elásticos hasta cierto punto y se deforman a pequeña escala: se comprimen, se estiran o se doblan. La cantidad de deformación está relacionada con las fuerzas y pares aplicados y las propiedades del material descritas por el módulo de Young. , Módulo de corte y módulo volumétrico . Cuando se tienen en cuenta estas ecuaciones adicionales que describen las propiedades del material, el problema deja de ser indeterminado.
Una suposición posible es que el contacto entre el libro y la mesa se puede modelar como una fila de resortes verticales que obedecen la Ley de Hooke entre dos planos perfectos. Por lo tanto, la fuerza normal debe aumentar linealmente de un extremo de la superficie de contacto al otro. Consulte Calcular la fuerza de reacción en cada pata de una mesa de 4 patas para ver un ejemplo similar. Si las superficies no son lisas, las fuerzas de fricción lateral podrían modelarse con resortes horizontales, posiblemente con una constante de resorte diferente.
Sin embargo, esto es solo una suposición. No se aplica necesariamente. El libro o la mesa se pueden deformar de modo que la fuerza normal varíe de manera desigual.
jerbo sammy