Energía de enlace gravitacional de una esfera de 2 densidades uniformes

Question

Energía de enlace gravitacional de una esfera de 2 densidades uniformes

Física
planetas
energía de unión
energía potencial
gravedad newtoniana

cris

Entonces sé que la energía de enlace gravitacional de una esfera de densidad uniforme puede estar dada por:

tu = - \frac{dieciséis}{3} GRAMO π^{2} ρ^{2} \int_{0}^{R} r^{4} d r

$U=-\frac{16}{3}G\pi^2\rho^2\int_0^Rr^4dr$ Que si se integra da:

tu = - \frac{3 GRAMO {METRO}^{2}}{5 R}

$U=-\frac{3GM^2}{5R}$ Como se desee. Pero digamos que tenía una función de densidad dada por:

ρ (r) = {\begin{cases} ρ_{a} & para r \leq r_{a} \\ ρ_{b} & para r_{a} < r \leq R \end{cases}

$\rho(r)=\begin{cases}\rho_a&\text{ for } r\leq r_a\\\\\rho_b&\text { for } r_a<r\leq R\end{cases}$ ¿Podría entonces escribir eso:

tu = - \frac{dieciséis}{3} GRAMO π^{2} \int_{0}^{R} ρ (r)^{2} r^{4} d r

$U=-\frac{16}{3}G\pi^2\int_0^R\rho(r)^2r^4dr$

tu = - \frac{dieciséis}{3} GRAMO π^{2} [\int_{0}^{r_{a}} ρ_{a}^{2} r^{4} d r + \int_{r_{a}}^{R} ρ_{b}^{2} r^{4} d r]

$U=-\frac{16}{3}G\pi^2\left[\int_0^{r_a}\rho_a^2r^4dr+\int_{r_a}^R\rho_b^2r^4dr\right]$ ¿O me estoy perdiendo algún matiz? Siento que lo estoy porque no creo que esté tomando en cuenta la masa de la primera densidad en la segunda integral, pero honestamente no estoy seguro. Cualquier aclaración sería muy apreciada.

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90

De ninguna manera de la primera fórmula, puede obtener la segunda. Esa es la energía potencial de dos esferas de masa.

M

$M$ A una distancia

R

$R$ . Pero, ¿es relevante para tu pregunta?

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90

Aunque el problema es diferente, esta pregunta physics.stackexchange.com/questions/341065/… podría ser relevante para su problema.

G. Smith

U = - G M / R^{2}

$U=-GM/R^2$ Es incorrecto. La energía de enlace de una esfera uniforme tiene un factor de 3/5. Ver Wikipedia . Debe averiguar su error antes de pasar a una esfera no uniforme.

cris

@ G.Smith fue solo un error tipográfico.

Respuestas (1)

Energía de enlace gravitacional de una esfera de 2 densidades uniformes

De ninguna manera de la primera fórmula, puede obtener la segunda. Esa es la energía potencial de dos esferas de masa. $M$ A una distancia $R$ . Pero, ¿es relevante para tu pregunta?
Aunque el problema es diferente, esta pregunta physics.stackexchange.com/questions/341065/… podría ser relevante para su problema.
$U=-GM/R^2$ Es incorrecto. La energía de enlace de una esfera uniforme tiene un factor de 3/5. Ver Wikipedia . Debe averiguar su error antes de pasar a una esfera no uniforme.

G. Smith · Answer 1

¿Podría entonces escribir eso...

No, es más complicado que eso. No mostraste cómo obtuviste tu primera integral, pero una forma de hacerlo es como en Wikipedia :

Imagine que se separa moviendo sucesivamente las capas esféricas hasta el infinito, la más externa primero, y encuentre la energía total necesaria para eso.

La masa $dm$ de una concha entre $r$ y $r+dr$ es

d {metro}_{caparazón} = {\begin{cases} 4 π r^{2} ρ_{a} d r, & 0 < r < r_{a} \\ 4 π r^{2} ρ_{b} d r, & r_{a} < r < R \end{cases}

$dm_\text{shell}=\begin{cases} 4\pi r^2 \rho_a\,dr, & 0<r<r_a \\ 4\pi r^2 \rho_b\,dr, & r_a<r<R \end{cases}$

y la masa dentro de esta capa es

{metro}_{interior} = {\begin{cases} \frac{4}{3} π r^{3} ρ_{a}, & 0 < r < r_{a} \\ \frac{4}{3} π r a^{3} ρ_{a} + \frac{4}{3} π (r^{3} - r_{a}^{3}) ρ_{b}, & r_{a} < r < R . \end{cases}

$m_\text{interior}=\begin{cases} \frac43 \pi r^3 \rho_a, & 0<r<r_a \\ \frac43 \pi ra^3 \rho_a + \frac43 \pi (r^3-r_a^3)\rho_b, & r_a<r<R. \end{cases}$

La energía potencial entre estos es

d tu = - GRAMO \frac{{metro}_{interior} d {metro}_{caparazón}}{r} .

$dU=-G\frac{m_\text{interior}dm_\text{shell}}{r}.$

Integra esto sobre toda la esfera en dos partes, $0<r<r_a$ y $r_a<r<R$ .

Energía de enlace gravitacional de una esfera de 2 densidades uniformes

cris

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90

G. Smith

cris

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G. Smith

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