Energía cinética de un cilindro.

Se supone que los resultados no son los mismos.

Hay dos formas de interpretar tu pregunta:

1. Desea calcular la energía cinética en diferentes marcos de referencia .

Pensemos, por ejemplo, en un cuerpo puntual que se mueve a una velocidad constante$\mathbf{v}$. Su energía cinética es$\frac{1}{2}mv^2$, pero si lo calculamos en un marco de referencia que se mueve con el cuerpo, en ese marco el cuerpo está en reposo y obtenemos cero. Por lo tanto, no esperamos el mismo resultado al calcular la energía cinética en diferentes marcos de referencia.

2. Desea permanecer en el marco de referencia del laboratorio, pero elegir diferentes puntos como eje de rotación para sus cálculos.

Aquí hay un punto sutil del que debemos ser conscientes. Es cierto que algunos cálculos que involucran la rotación de cuerpos rígidos se pueden realizar de varias maneras diferentes, cada vez que se elige un eje diferente y, aun así, se obtiene el resultado correcto. Por ejemplo, esto funciona si queremos calcular la aceleración lineal y angular de un cuerpo cuando se le aplica una fuerza determinada.

Sin embargo, si un cuerpo rígido tiene movimiento lineal y rotación simultáneamente, y queremos calcular su energía cinética, debemos tener cuidado al usar la fórmula:

dónde$\mathbf{V}$es la velocidad del punto del eje y$\omega$es la velocidad angular de rotación alrededor de ese punto. Esta es la fórmula que usó en sus cálculos, pero de hecho es válida solo en los siguientes casos (y doy una prueba de esto a continuación):

1. Cuando usamos el centro de masa como eje de rotación.
2. Cuando el eje de rotación está en reposo (es decir,$\mathbf{V}=0$).
3. Cuando la velocidad es paralela a la línea que conecta el punto del eje con el centro de masa.

Con respecto a los cálculos que mostró en su pregunta:
cuando usó el punto fijo del cilindro como eje, se aplicó el caso 2. Cuando usó el centro de masa, se aplicó el caso 1. Cuando usó el extremo móvil, ninguno de los casos se aplicó, y no puede usar la fórmula anterior en este caso.

Prueba:
Modelamos el cuerpo rígido como una colección de masas puntuales$m_i$con sus posiciones relativas al eje de rotación indicadas como$\mathbf{r}_i$. La velocidad de la masa$i$es:

Entonces la energía cinética total es:

dónde$M=\sum_i m_i$es la masa total,$I=\sum_i m_i |\hat{\boldsymbol\omega} \times \mathbf{r}_i|^2$es el momento de inercia y$\mathbf{R}_{CM} = (\sum_i m_i \mathbf{r}_i )/M$es el centro de masa relativo al eje de rotación.
Vemos que necesitamos que desaparezca el último término para obtener la fórmula que queremos probar, y podemos obtener esto si$\mathbf{R}_{CM}=0$(caso 1),$\mathbf{V}=0$(caso 2) o$\mathbf{V} \cdot (\boldsymbol\omega \times \mathbf{R}_{CM})=0$(caso 3).

Creo que encontré tu error. El momento de inercia de una barra fija con respecto al centro es

Puede derivar esto de varias maneras. Lo derivé considerando dos barras que se mueven por separado (pero aún rígidas), entonces el momento de inercia es como antes, pero

Se puede considerar que la velocidad angular$\dot{\phi}$de cada varilla es la misma que antes.

Cuando tomas la velocidad del centro de masa, deberías tener

Dado que la parte que se traslada es el centro de masa, a la mitad de la longitud total desde el punto fijo (piense en los problemas de la rueda rodante).

Debería poder resolver la energía ahora.