Carrera rodante donde los objetos ruedan con deslizamiento.

$$\underline{\text{The Case of Pure Rolling}}$$ Entendamos este caso primero. ¿Cuál es la fuerza de fricción que actúa sobre un objeto (consideremos un disco de radio$R$y masa$M$) que es puro rodar por una pendiente (ángulo de inclinación$\theta$)?

Dado que el punto de contacto está instantáneamente en reposo (sin deslizamiento), la fuerza de fricción que actúa sobre el objeto es de naturaleza estática ($f_s \leq \mu_s N$). esta dado por$(1)$.

$$f_s = \frac{mg\sin\theta}{1+\frac{mR^2}{I_{CM}}} \tag{1}$$ $$\text{Requirement for pure rolling : }\mu_s \geq \frac{f_s}{N}=\frac{\tan \theta}{1+\frac{mR^2}{I_{CM}}}=\mu_c \tag{2}$$

La fricción en la superficie intenta asegurar que no resbale cuando el disco se suelta del reposo en la parte superior de la pendiente. Y tiene éxito sólo si$(2)$Está satisfecho. Pero que si$(2)$no esta satisfecho?

$$\underline{\text{The Case of Rolling with Slipping}}$$ Si$(2)$no se cumple, el punto de contacto comenzará a deslizarse y, por lo tanto, la fuerza de fricción que actúa sobre el disco no será estática sino cinética. $$f_k = \mu_k N \tag{3}$$ $$mg\sin \theta -f_k = ma \Rightarrow a = g\sin \theta - \mu_kg \cos \theta\tag{4}$$

Ahora, para llegar a tu problema, la pregunta establece que el coeficiente de fricción ($\mu_s \approx \mu_k$) entre los objetos y el plano inclinado es el mismo para los tres objetos y que no es suficiente para rodar puro (es decir,$(2)$no se satisface para cada uno de los tres objetos). Por tanto, es$(4)$que da la aceleración de los tres objetos y dado que$\mu_k$es el mismo para los tres, ruedan hacia abajo con la misma aceleración y llegan al fondo al mismo tiempo.

$$\textbf{EDIT}$$

¿Por qué no se mantendría el mismo resultado para el rodamiento puro?

Para el caso de rodadura pura, la fuerza de fricción estática que actúa sobre el objeto depende de la$I_{CM}$del objeto [$(1)$] : la fuerza de fricción no será la misma para los tres objetos. Lo que, a su vez, implica que los objetos experimentarán diferentes aceleraciones [$(5)$] (y por lo tanto, no llegan al fondo al mismo tiempo). Esta es la razón por la cual el objeto con el menor momento de inercia gana la carrera: porque la fuerza de fricción que actúa sobre ese objeto es la menor.

$$a=g\sin \theta \left( \frac{mR^2}{I_{CM} + mR^2} \right) \tag{5}$$

¿Y por qué no ocurre un caso en el que la esfera sólida gana la carrera pero el margen de victoria es menor que en el caso de la rodadura pura?

Es importante tener en cuenta que hay tres$\mu_s$'s (llámalos$\mu_1, \mu_2, \mu_3$) involucrados aquí: uno para cada objeto. Llamemos al valor crítico de$\mu$por debajo del cual el objeto no puede rodar puramente por la pendiente,$\mu_c$[Ver$(2)$] (Nuevamente, hay uno para cada objeto:$\mu_{c1}, \mu_{c2}, \mu_{c3}$).

Para el caso de rodadura pura de los tres, se debe cumplir lo siguiente.

$$\mu_1 > \mu_{c1} \;|\; \mu_2 > \mu_{c2} \;|\; \mu_3 > \mu_{c3} \tag{6}$$

Digamos que estamos modificando la superficie para reducir el valor de$\mu_1$,$\mu_2$y$\mu_3$(alisando la superficie tal vez?). Siempre que la final$\mu_1$,$\mu_2$y$\mu_3$(que ahora tienen valores más bajos que los que tenían anteriormente) satisfacen$(6)$al permanecer por encima de los valores críticos, no hay absolutamente ninguna diferencia en el movimiento de los objetos: la diferencia de tiempo entre la llegada de los objetos al fondo de la pendiente no se reduce a medida que bajo los valores de$\mu$mientras$(6)$Está satisfecho. Esto se debe a que la fuerza de fricción que actúa sobre los objetos en el rodamiento puro no depende de$\mu_s$[Ver$(1)$].

Su intuición (como sería la intuición de muchas personas) acerca de una disminución continua en la diferencia de tiempos de llegada con la disminución continua de$\mu$llevarte por mal camino. Si la fuerza de fricción se comportara de alguna otra manera (obedeciera a algún otro resultado empírico, quiero decir), entonces tal vez tu intuición se correspondería con la realidad.

Pero, sí, para dar en el clavo una última vez: hay un discreto cambio de comportamiento de la fuerza de fricción en el problema. Si$\mu < \mu_c$, la fuerza de rozamiento viene dada por$(3)$y si$\mu > \mu_c$, la fuerza de rozamiento viene dada por$(1)$.

¿Por qué el resultado final está sesgado hacia uno de los casos extremos, es decir, todos los objetos se deslizan por una superficie sin fricción?

Dado que cada objeto experimenta la misma fuerza de fricción en el caso de rodar con deslizamiento, sus aceleraciones son las mismas y llegan al fondo al mismo tiempo. No es exactamente lo mismo que en el caso de una superficie sin fricción: en cuyo caso los objetos no giran y además llegan al fondo más rápido que en el caso de "rodar+deslizarse" ya que no hay fuerza opuesta.