Problema del péndulo cónico, cuerda elástica

Encontré el siguiente problema en un examen anterior para un curso universitario en el que estoy. Se trata de un péndulo cónico con una cuerda elástica:

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Intenté una solución y obtuve 10000 por mi respuesta, que figuraba (a). Sin embargo, tengo algunas preguntas sobre la solución, a saber, no parece tener sentido físico para mí. Primero, aquí está mi solución:

Dejar θ Sea el ángulo entre la cuerda y la vertical. Entonces T horizontal = T pecado ⁡ θ . La pelota describe un movimiento circular, con aceleración r ω 2 , de este modo

T pecado ⁡ θ = metro r ω 2 .

A partir de la geometría, podemos ver que r = L pecado ⁡ θ , L siendo la longitud de la cuerda. L = L 0 + T k , de este modo

T pecado ⁡ θ = metro ( L 0 + T k ) pecado ⁡ θ ⋅ ω 2 .

Desde pecado ⁡ θ no es igual 0 entre 0 y π / 2 rad ( 0  a  90 o ), podemos dividir ambos lados por pecado ⁡ θ ,

T = metro ( L 0 + T k ) ω 2 .

Resolviendo para T ,

T = metro L 0 ω 2 + metro ω 2 k T ⇒ T − metro ω 2 k T = metro L 0 ω 2 ⇒ T ( 1 − metro ω 2 k ) = metro L 0 ω 2 ⇒ T = metro L 0 ω 2 1 − metro ω 2 k

Sustituyendo los valores de la pregunta se obtiene,

T = 0.5 ⋅ 1 ⋅ 100 2 1 − 0.5 ⋅ 100 2 10000 .

Si bien esta es una respuesta enumerada, esto no tiene sentido para mí. sugiere que

(a) La gravedad no tiene efecto.

(b) cuando ω ≈ 70.7 rad/s, la tensión no está definida. (Debido a la división por cero).

c) cuando ω es mayor que aprox. 70.7 rad/s, la tensión se vuelve negativa.

A continuación se muestra un gráfico de la ecuación (reducido mucho), de desmos.com:

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¿Esto no tiene ningún sentido físico para mí? ¿Cometí un error en alguna parte? Si es así, ¿por qué está mal y cuál es la solución correcta? Si no cometí un error, ¿cómo tiene esto sentido físico? es el dominio de ω limitado de alguna manera?

Respuestas (2)

La interpretación de las ecuaciones debe ser consistente con la realidad física. Su gráfica muestra valores de T y ω que son -ve; el primero no es realizable, el segundo no tiene sentido.

La tensión en la cuerda viene dada por T porque ⁡ θ = metro gramo . La tensión mínima es metro gramo cuando θ = 0 y crece infinitamente grande como θ → 1 2 π .

Si la cuerda fuera un resorte o una varilla, podría estar comprimida, que es una tensión negativa. Esto podría realizarse si la masa girara por encima del punto de suspensión. Sin embargo, con el resorte o la varilla en compresión, no puede haber ninguna fuerza centrípeta para mantener la masa moviéndose en un círculo.

Por lo tanto T no puede ser negativo y θ no puede ser mayor que 1 2 π .

Reorganizando su ecuación, la frecuencia angular de las oscilaciones circulares está dada por

ω 2 = T ( θ ) metro L ( θ ) = gramo L 0 porque ⁡ θ + metro gramo k

El menor valor posible de ω ocurre en θ ≈ 0 y es gramo L 1 , que es lo mismo que para pequeñas oscilaciones de un péndulo simple de longitud no giratoria L 1 = L 0 + metro gramo k .

El mayor valor posible de ω ocurre por θ = 1 2 π y es k metro , que es lo mismo que para las oscilaciones de la cuerda elástica.

Entonces sí, el valor de ω está restringida al rango gramo L 1 ≤ ω ≤ k metro .

Gran respuesta. Entonces, ¿mi respuesta final fue válida, excepto que su dominio es limitado?
Lo sospechaba mucho, sobre todo porque ω = v / r = v / L pecado ⁡ θ , lo que significaba que todavía había una dependencia oculta de θ , que tiene un dominio limitado. Además, ¿no significa la respuesta que la presencia de la gravedad, o cualquier fuerza que actúe a lo largo de la vertical, no tiene efecto en la expresión de T ( ω ) ?

Creo que la gravedad tiene su efecto porque aquí T porque ⁡ ( θ ) = metro gramo . Entonces tenemos θ = porque − 1 ⁡ ( metro gramo T ) . Ahora has señalado T = 10 4 norte . También podemos calcular el ángulo de inclinación ( θ ), sustituyendo el valor de metro = 0.5 kg y gramo = 10 metro / s 2 como,

θ = porque − 1 ⁡ ( 0.5 × 10 10 4 ) = porque − 1 ⁡ ( 0.0005 ) ∼ 90 o
Lo que significa que la velocidad angular ω es sorprendentemente alto!!! Y creo que eso creará una tensión enorme en el resorte y lo cual es cierto ( T = 10 4 N, que crean 10 4 metro / s 2 en 1 kg de masa!). Entonces, la ley de Hooke no es válida aquí y no puede usar la expresión para la longitud final del resorte como L = L 0 + T k .

No creo que esto responda la pregunta. La velocidad angular se da en la pregunta como ( 100 r a d / s o 70.7 r a d / s ) por lo que no es sorprendentemente alto . ¿Por qué la Ley de Hooke no es válida? La pregunta dice que es válido. No se pueden cambiar las condiciones de la pregunta.
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