Encuentre la fuerza de arrastre en el eslabón de la cadena giratoria

Asumiré en esta respuesta que "arrastrar" significa tensión. Se le pide que encuentre la tensión en la cadena mientras gira. Esto es independiente del tamaño del enlace, siempre que los enlaces no sean una fracción significativa de la circunferencia.

Si tienes un aro de densidad de masa por unidad de longitud$\rho$y circunferencia C (de modo que$\rho C = M$donde M es la masa total), girando con velocidad de rotación$\omega$, la fuerza centrípeta sobre un segmento de longitud l es la masa por la velocidad de rotación al cuadrado por el radio, o

$$F_c = \rho l w^2 {C\over 2\pi}$$

Si la cadena está en tensión T, los dos extremos del segmento tiran hacia adentro con una fuerza total de

$${Tl\over C}$$

Al igualar las dos fuerzas, la l desaparece (como debe ser) y da la tensión:

$$T = (\rho C) \omega^2 {C\over 2\pi} = M \omega^2 {C\over 2\pi}$$

o$\omega= 30 {1\over s}$,$M=.4 \mathrm{kg}$,$C = 1.2 m$, esto es alrededor de 68N.

Piensa en esto: en el límite como$m\to 0$, la fuerza neta también tiende a cero, ya que$F_\text{net}=ma$y la aceleración es claramente finita. Entonces, no es muy útil calcular la fuerza en una parte infinitesimal de la cadena, ya que solo obtienes cero.

Si realmente se le pide que encuentre la fuerza centrípeta en un solo eslabón de la cadena, tendrá que involucrar el tamaño de un eslabón de alguna manera. Puede usar la longitud de un enlace, o la masa, o cualquier otra cosa con la que pueda trabajar, pero tendrá que haber algún tipo de propiedad extensiva involucrada.

Alternativamente, como señaló yohBS en un comentario, puede calcular la densidad de fuerza , que sería fuerza por unidad de longitud, o por unidad de masa, o lo que sea. Esto es similar a suponer un eslabón de cadena de longitud unitaria.

Me parece como si toda la cadena estuviera experimentando una fuerza centrípeta. Para un radio, una velocidad y una masa dados, la fuerza sería

$$F = mv^2/r$$ Esto es independiente del tamaño o número de enlaces individuales, siempre que podamos suponer que la distribución de masa se concentra en un círculo con radio $r$. Ahora, desde una situación de estado estable, no puede tener ninguna aceleración a lo largo de la dirección de rotación, ya que esto aceleraría o desaceleraría la cadena. Si pudiera desconectar todos los enlaces instantáneamente, la fuerza total necesaria para mantenerlos en un círculo es $F$, cada elemento individual requiere $F/n$, con $n$siendo el número de elementos de enlace. Así que no hay forma de evitar algún tipo de normalización.

Bien, veamos. La aceleración centrípeta es$r\omega^2$, y si la densidad de la cadena es$D$kg por metro de radio, entonces la fuerza centrípeta que sostiene un pequeño trozo de cadena de longitud$dr$en una trayectoria circular es$f = Dr\omega^2dr$. Si la longitud de la cadena es$l$entonces la tensión en cualquier radio$r$es la integral de$fdr$de$r$a$l$que se parece a algo$D\omega^2 (l^2-r^2)/2$. No debería importar si es una cadena o un cable.

$D = 0.4kg/1.2m$,$l = 1.2m$, y$\omega = 2 \pi 1800/60$radianes/seg.

Lo tomas desde allí.

No vi inmediatamente una respuesta que sea fácil de entender, así que escribiré esta. Este es un tipo de problema de ingeniería que verá una y otra vez en la escuela de ingeniería y es mejor pensarlo en términos de ingeniería.

Suponga que su cadena tiene dos eslabones débiles, separados 180 grados. Queremos saber qué tan rápido podemos girar la rueda sin que la cadena se rompa en esos eslabones.

Tratamos las dos mitades de la cadena como si fueran objetos sólidos. La pregunta ahora es: ¿cuál es la mitad de la fuerza centrípeta entre las dos mitades de la cadena? Por supuesto, estas dos fuerzas son opuestas e iguales. Entonces calculamos la mitad de la fuerza centrípeta de 180 grados de cadena.

La fuerza es un vector. La cadena en posición$(r,\theta)$dónde$r$es el radio de la rueda tiene una fuerza centrípeta con una magnitud de

$$(M\;d\theta/2\pi)\;r\;\omega^2$$ en la dirección del radio (o en contra, lo que sea, si te importa, sigue adelante y edita esto), donde $M$es la masa de la cadena y $\omega$la velocidad de rotación en radianes. Escribiéndolo como un vector tenemos: $$F_\theta = \frac{Mr\omega^2\;d\theta}{2\pi}(\cos(\theta),\sin(\theta)).$$ Integrando esto de $\theta=0$a $\theta=\pi$da (ignorando las señales que odio) una fuerza total de: $$F_{tot} = \frac{Mr\omega^2}{2\pi} 2 = Mr\omega^2/\pi,$$ y entonces la tensión en la cadena es: $$F_{tension} = \frac{Mr\omega^2}{2\pi} 2 = Mr\omega^2/(2\pi),$$

Esta es la misma que la respuesta de Ron Maimon y veo que su derivación es correcta y más simple. Dejaré esto porque creo que es más intuitivo.