Derivación de la ecuación de movimiento circular

Me dan una serie de tres ecuaciones, que alguien ha usado para determinar la fuerza de tensión en un columpio de cuerda:

$$mgh=1/2mv^2$$ $$T-mg=\frac{mv^2}{r}$$ $$T=3mg=1764N$$ Me piden que explique los pasos de los cálculos y los conceptos involucrados. Para empezar, me doy cuenta de que la primera ecuación está diciendo que la Energía Potencial de la persona que se columpia en la cuerda será igual a su energía Cinética, en el fondo o en el columpio, de acuerdo con las leyes de conservación de la energía. Además, establecer esta ecuación nos permite calcular el $v$de la persona que se columpia en la cuerda, que se necesita en la segunda ecuación. La segunda ecuación establece que la tensión en la cuerda, en la parte inferior del columpio, será igual a la suma de la fuerza centrípeta y el peso de la persona que se columpia en la cuerda. Pero tengo problemas para entender la última ecuación. Claramente, se ha hecho una sustitución en un lado de la ecuación para llegar a $3mg$.

Sé que puedo incluir la aceleración centrípeta en la ecuación:

$$T-mg=ma_c$$

¿Podría tener una pista que me guíe en la dirección correcta? ¿Hay varias sustituciones involucradas para llegar a$3mg$.