Velocidad máxima de bucle de montaña rusa

Resulta que en realidad puedes usar esa misma fórmula$v_{min} = \sqrt{gR}$. Sin embargo$R$es el radio de curvatura en la parte superior del bucle, que es simplemente igual al radio en el caso de un círculo. Consulte aquí para obtener más información sobre cómo encontrar la curvatura de una elipse.

La ecuación de la elipse en coordenadas polares es:

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}=\left[ \begin {array}{c} r\cos \left( \varphi \right) \\ r\sin \left( \varphi \right) \end {array} \right]$

$r={\frac {ba}{\sqrt {{a}^{2} \left( \sin \left( \varphi \right) \right) ^{2}+{b}^{2} \left( \cos \left( \varphi \right) \right) ^{2 }}}}$

dónde$2a$es el eje mayor y$2b$el eje menor

Energía cinética

$T=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)$

con$\begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \end{bmatrix} =\left[ \begin {array}{c} -{\frac {b{a}^{3}\sin \left( \varphi \right) \varphi p}{ \left( {b}^{2} \left( \cos \left( \varphi \right) \right) ^{2}+{a}^{2}-{a}^{2} \left( \cos \left( \varphi \right) \right) ^{2} \right) ^{3/2}}}\\ {\frac {{b }^{3}a\cos \left( \varphi \right) \varphi p}{ \left( {b}^{2} \left( \cos \left( \varphi \right) \right) ^{2}+{a}^{2}-{a}^{2} \left( \cos \left( \varphi \right) \right) ^{2} \right) ^{3/2}}}\end {array} \right]$

y$\varphi p=\dot{\varphi}$

Energía potencial

$V=m\,g\,y$

resolvemos la ecuacion$T=V$para$\dot{\varphi}$y obtener para$v_{max}=r\,\dot{\varphi}|_{(\varphi=\frac{\pi}{2})}$

$v_{max}=\sqrt{2\,b\,g}$

Para un círculo ($b=a=R$) con radio$R$obtenemos:

$v_{max}=\sqrt{2\,R\,g}$

Resultado de la simulación