Estoy muy confundido por los relatos contradictorios de una supuesta solución de Newton al problema de encontrar la trayectoria de un proyectil que se mueve bajo gravedad uniforme contra una resistencia que es proporcional al cuadrado de la velocidad del proyectil. Algunas fuentes afirman que lo resolvió en la segunda edición de los Principia (¡no en la primera!), pero no resolvió el problema más general, cuando se supone una ley de potencia arbitraria para la resistencia. Según ellos, este problema notablemente general fue resuelto por John Bernoulli. Otras fuentes afirman que Newton ni siquiera resolvió el caso cuadrático.
Entonces, ¿encontró Newton la trayectoria de la ley cuadrática o no? Y si no lo hizo, ¿qué tipo de proposiciones hay en la Sección 2 del Libro 2 de los Principia? Supongo que el Libro 2 de los Principia marca el comienzo de la balística moderna; por eso considero importante esta pregunta.
Además, tengo otra pregunta, que está demasiado relacionada con la última parte de la vida de Newton. La pregunta es sobre el problema de las trayectorias ortogonales que Newton resolvió en 1716 al derivar la ecuación diferencial general que satisface la familia ortogonal. Quiero preguntar qué es tan importante acerca de esta pregunta; no parece difícil, en serio, incluso yo puedo resolverlo. Entonces, ¿por qué tantos libros le dan importancia a esta solución? Entiendo la importante conexión con la teoría del potencial (líneas de campo y líneas equipotenciales), pero ¿por qué varios libros declaran que la solución de Newton a este problema fue uno de los ingeniosos logros de su vida posterior?
No, no lo hizo. Ni en la primera (1687), ni en la segunda (1713), ni en la tercera (1726) edición, a continuación cito la edición de Cajori de la traducción de Motte de esta última. Como no pudo encontrar la trayectoria analíticamente, trató de aproximarla mediante curvas preestablecidas. En el proceso, aparentemente se equivocó con los semicírculos en la primera edición de Principia, que Johann (= John) Bernoulli señaló en 1712. Newton corrigió el error en la segunda edición del año siguiente, sin mencionar a Bernoulli. El problema se presentó como desafío en 1717, cuando Bernoulli lo resolvió (de forma paramétrica) como un caso particular del problema de la resistencia proporcional a una potencia arbitraria de la velocidad.
Newton encontró la trayectoria de la ley de resistencia lineal, sugerida por Galileo, en la Sección 1 del Libro II. Pero argumentó que la ley del cuadrado es correcta para medios raros como el aire, ¡e incluso que puede derivarse de sus leyes de movimiento! La Sección 2 examina este caso, primero sin gravedad, y luego para la caída en línea recta. Pero lo más cerca que llega Newton a la trayectoria general es cuando estudia el problema inverso bajo la Proposición X del Libro II:
Supongamos que la fuerza de gravedad uniforme tiende directamente al plano del horizonte, y que la resistencia es como el producto de la densidad del medio por el cuadrado de la velocidad: se propone encontrar la densidad del medio en cada lugar, que hará que el cuerpo se mueva en una línea curva dada, la velocidad del cuerpo y la resistencia del medio en cada lugar " .
Considera cuatro tipos de trayectorias: semicírculo, parábola, hipérbola con asíntota oblicua y vertical, e hipérbola generalizada con asíntotas similares, y razona qué tipo de distribución media las produciría. Su conclusión heurística para el medio uniformemente denso es esta:
... la línea que describe un proyectil en un medio uniformemente resistente se acerca más a estas hipérbolas que a una parábola. Esa línea es ciertamente de tipo hiperbólico, pero en el vértice está más alejada de las asíntotas, y en las partes alejadas del vértice se acerca más a ellas que estas hipérbolas aquí descritas.
La consideración de Newton del semicírculo y los casos hiperbólicos parece estar influenciada por Nova Scientia (1537) de Tartaglia , uno de los primeros libros que aplican las matemáticas a la balística. On Motion in a Resisting Medium: a Historical Perspective de Hackborn detalla el caso Bernoulli:
Un “grave error” en el análisis de Newton de la trayectoria semicircular en la Proposición 10 de la primera edición de Principia tuvo consecuencias inesperadas. Johann Bernoulli descubrió el error y se lo comunicó a Newton a través de su sobrino, Nikolaus Bernoulli, quien estaba de visita en Londres en Septiembre de 1712. Luego, Newton adaptó una larga corrección de pegado para la segunda edición (1713), ya impresa, sin citar la ayuda de Bernoulli... Eventualmente, respondiendo a un desafío de 1717 del profesor de Oxford John Keill para "encontrar la curva". que describe un proyectil “sujeto a la gravedad y al arrastre del fluido que varía como el cuadrado de su velocidad, Johann Bernoulli encontró una expresión para esta curva en el caso del arrastre que varía como una potencia arbitraria de la velocidad” .
Según Whittaker este problema fue reducido a cuadratura por D'Alembert en 1744: Whittaker, Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos, p. 229 http://archive.org/details/treatisanalytdyn00whitrich
La respuesta de Conifold dice que Bernoulli lo resolvió de una forma más general en 1717. Presumiblemente hay alguna diferencia entre los tipos de soluciones logradas por D'Alembert y Bernoulli.
Me sorprendería que alguien pudiera haber logrado algo sobre este problema ya en la vida de Newton, dado el primitivo estado del arte en matemáticas y física en ese momento. Hoy, describimos la solución en términos de cantidades conservadas (hay una constante del movimiento en términos de y ) y escriba la solución analítica para el caso unidimensional usando logaritmos. Hacer cálculos con logaritmos era algo completamente nuevo en ese momento, y no sé si el concepto de cantidad conservada existía siquiera.
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Conifold
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