¿Cómo se le ocurrió a Newton su fórmula?

La fórmula era una hipótesis comúnmente discutida en ese momento (Ch. Wren, Hooke, Halley). El primer intento de probar la fórmula se hizo cuando Newton era un joven estudiante en Cambridge: comparó la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra (fácil de medir observando manzanas que caen, por ejemplo:-) con la aceleración de la Luna en su órbita (fácil de medir). calcular). Y comparó estas aceleraciones con el radio de la Tierra y el radio de la órbita de la Luna. El acuerdo fue pobre y Newton abandonó el tema. (La razón del pobre acuerdo fue el valor incorrecto del radio de la Tierra que aparentemente le enseñaron a Newton en su universidad).

El segundo intento fue provocado por una carta de Hooke, muchos años después. Hooke propuso literalmente derivar las leyes de Kepler (principalmente la primera ley) asumiendo esta fórmula. Cuando Newton hizo esto, le pareció una prueba convincente. La próxima vez, cuando Edmund Halley le hizo la misma pregunta, Newton pudo mostrarle una demostración. Todavía se discute si la prueba de Newton fue realmente una prueba de lo que preguntó Halley (que la ley del inverso del cuadrado implica órbitas elípticas), o si demostró solo la afirmación inversa: que el movimiento en las elipses implica la ley del inverso del cuadrado. En cualquier caso, cualquiera de las dos implicaciones constituye un argumento convincente a favor de la ley del inverso del cuadrado.

Cuando Newton estaba escribiendo el libro, ya conocía el radio preciso de la Tierra, por lo que su argumento inicial también estaba justificado. Otra de las primeras pruebas exitosas de la ley del inverso del cuadrado fue la predicción del regreso del cometa Halley, realizada por Halley.

Todo esto era una fuerte evidencia de la gravitación universal, pero se deseaban más pruebas. (Solo se explicaron algunas características principales de los movimientos de los planetas, pero uno quería asegurarse de que la ley sea exacta, no aproximada).

Hubo dos pruebas cruciales en el siglo XVIII. Primero la predicción de la forma de la Tierra (probada en varias expediciones en el siglo XVIII mediante la medición precisa de los arcos de los meridianos). En segundo lugar, y más importante, fue la explicación cuantitativa de las irregularidades del movimiento de la Luna (debido a la perturbación que surge del Sol, la Luna no obedece exactamente las leyes de Kepler). Aquí el propio Newton tuvo solo un éxito parcial, explicando el orden de magnitud de la llamada "primera desigualdad". El arduo trabajo de los mejores matemáticos del siglo XVIII (Euler, Clairault, Lagrange y varios otros) finalmente logró un éxito con la predicción cuantitativa del movimiento de la Luna. Este fue el paso decisivo en la prueba de la ley universal de la gravitación.

Se realizaron más pruebas en el siglo XIX, la más famosa fue la predicción de la existencia de Neptuno y el cálculo de su órbita antes de que fuera observado. Después de eso, ya nadie tuvo dudas.

Como dijo Newton, se subió a hombros de gigantes. Uno de esos gigantes fue Kepler, quien descubrió que la periodicidad de una órbita planetaria estaba relacionada por

$$T^2~\propto~r^3.$$ Esta es la tercera ley de Kepler. Newton se dio cuenta con la segunda ley $\vec F~=~m\vec a$de movimiento que la fuerza centrípeta es $$\vec F~=~m\omega^2\vec r.$$ Newton planteó la hipótesis de que había alguna fuerza universal entre todas las masas. Esta es la base de la historia semimítica de la caída de la manzana. Newton dijo entonces que con la segunda ley la fuerza centrípeta es la $m\vec a$y esta fuerza debe ser de la forma $\vec F~=~r^n\vec r$y entonces $$m\omega^2\vec r~=~Kr^n\vec r.$$ Está claro que $n~=~3$por Kepler. Además, la tercera ley de Kepler no depende de la masa del satélite en órbita. Newton se dio cuenta de que la magnitud de esta fuerza debe escalar con la masa del cuerpo primario. Por eso $K~=~GMm$.