Encontrar los niveles de energía de un electrón en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme

Supongamos que tenemos un electrón, masa metro , cargar − mi , moviéndose en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme B → = ( 0 , 0 , B ) . Dejar X → = ( X 1 , X 2 , 0 ) sea ​​su posición y PAG i , X i sean los operadores de posición y cantidad de movimiento.

El electrón tiene hamiltoniano.

H = 1 2 metro ( ( PAG 1 − 1 2 mi B X 2 ) 2 + ( PAG 2 + 1 2 mi B X 1 ) 2 )

¿Cómo puedo demostrar que esto es análogo al oscilador armónico unidimensional y luego usar este hecho para describir sus niveles de energía?

Intenté expandir el hamiltoniano y encontré:

( PAG 1 2 2 metro + 1 2 metro ( mi B 2 metro ) ) 2 X 1 2 + ( PAG 2 2 2 metro + 1 2 metro ( mi B 2 metro ) 2 ) X 2 2 + mi B 2 metro ( X 1 PAG 2 − PAG 1 X 2 )

Esto se ve muy similar al oscilador armónico 2D, si alguien puede ayudar/señalar dónde estoy equivocado, ¡lo agradecería mucho!

Parece que tienes un error en la segunda fórmula allí. Creo que solo debería haber un paréntesis cerrado justo antes X 1 2 . Y tal vez no quieras que el paréntesis abierto entre PAG 2 2 2 metro cualquiera.

Respuestas (1)

A partir de los momentos canónicos:

Π 1 = PAG 1 − 1 2 mi B X 2 y Π 2 = PAG 2 + 1 2 mi B X 1 ,

Obtenemos

[ Π 1 , Π 2 ] = i mi B ℏ

Así los operadores:

a = 1 2 mi B ℏ ( Π 1 + i Π 2 ) y

a † = 1 2 mi B ℏ ( Π 1 − i Π 2 )

satisfacer la relación de conmutación canónica [ a , a † ] = 1

Haciendo la sustitución en el hamiltoniano obtenemos:

H = ℏ ω ( a a † + 1 2 ) , con ω = mi B metro .

La diferencia con el oscilador armónico radica en el hecho de que ahora los niveles de energía están infinitamente degenerados, por ejemplo, la ecuación de los estados fundamentales:

a Ψ ( X 1 , X 2 ) = 0

tiene un número infinito de soluciones y cualquier función de la forma:

Ψ = F ( X 1 + i X 2 ) mi X pag ( − mi B ( X 1 2 + X 2 2 ) / 4 ℏ )

es un estado fundamental. Estos son los niveles más bajos de Landau.

Lo siento, esto es muy bueno, pero ¿te importaría explicar con un poco más de detalle cómo esto nos da los niveles de energía?
¿Cuál es el significado de la relación de conmutación canónica?
El hamiltoniano expresado en términos de los operadores de creación y aniquilación tiene exactamente la forma del oscilador armónico hamiltoniano. Por lo tanto, los niveles de energía son exactamente iguales a los del oscilador armónico, sin embargo, con una degeneración infinita por nivel (los niveles de energía del oscilador armónico no son degenerados). La ventaja de usar este método es que permite una solución algebraica de los niveles de energía (es decir, sin resolver ecuaciones diferenciales), consulte la página de Wikipedia del oscilador armónico cuántico: en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator
Estos operadores de creación y aniquilación, ¿son a , a † , no veo como H = ℏ ω ( a a † + 1 2 ) ? ¿No queremos encontrarlo en términos de X y PAG comparar con el oscilador armónico? Perdón por ser lento... ¡ha sido un día muy largo!
Si sustituyes las expresiones de a y a † dado en la respuesta en el hamiltoniano H = ℏ ω ( a a † + 1 2 ) obtienes el hamiltoniano con el que empezaste expresado en términos de X y PAG .
Si puedo agregar, si escribes a = X + i pag y a † = X − i pag , obtienes el oscilador armónico hamiltoniano en la representación habitual, pero las coordenadas del oscilador armónico X y pag no son las coordenadas originales con las que comenzó.
¡Muchas gracias! Realmente aprecio la ayuda para explicarme esto.
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