Encontrar las frecuencias para una diferencia de fase dada entre el voltaje de suministro y la corriente de suministro

Question

Encontrar las frecuencias para una diferencia de fase dada entre el voltaje de suministro y la corriente de suministro

daniel tork

Estoy tratando de resolver un ejercicio relacionado con LCR, pero me encontré con un problema.

Aquí está la tarea del ejercicio y la información:

Un circuito de corriente alterna está compuesto por una resistencia de 50 Ω, un inductor ideal con una inductancia de 10 mH y un capacitor de 1 μF. Averigüe las frecuencias de la CA para las cuales una diferencia de fase de $\frac{π}{4}$ está presente entre la corriente de suministro y el voltaje de suministro.

Entonces:
$R=50\ Ω$
$L=10\ mH=10^{-2}\ H$
$C=1\ μF=10^{-6}\ F$

También sé saber el valor de la frecuencia de resonancia si ayuda.

esquemático

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Como no se especifica cuál de los conductores de corriente y voltaje, he calculado que solo habrá dos valores, uno por debajo de la frecuencia resonante cuando todo el circuito actúa como un condensador y el otro más grande que la frecuencia resonante cuando el circuito funciona como inductor.

esquemático

^{simular este circuito}

esquemático

^{simular este circuito}

Para el primer diagrama: $tan\ φ=\frac{X_L-X_C}{R}$
$tan\ \frac{π}{4} =\frac{X_L-X_C}{R}$

$\frac{X_L-X_C}{R}=1$
φ es el ángulo entre el fasor de tensión y el fasor de corriente. Los valores de los fasores son todos picos.

Algo similar se puede escribir para el segundo diagrama fasorial.

El problema es que si sigo resolviendo la ecuación anterior me veré obligado a lidiar con una ecuación cuadrática lo que me hace pensar que lo estoy complicando todo, dados los números que tengo que usar para calcular $\Delta$ y luego encontrar $\omega_1$ y $\omega_2$ . Estoy pensando que hay una manera más fácil de resolver la tarea.

¿Cómo debo proceder para resolver este ejercicio?

Chu

Resolver una cuadrática no es un problema importante.

daniel tork

Puede llegar a serlo cuando tienes que trabajar con números grandes.

Chu

¿Tienes miedo de quedarte sin tinta?

Respuestas (3)

Encontrar las frecuencias para una diferencia de fase dada entre el voltaje de suministro y la corriente de suministro

Puede llegar a serlo cuando tienes que trabajar con números grandes.

Rata de acero inoxidable · Answer 1

No veo ningún problema para resolver las dos fórmulas cuadráticas.

Estás buscando los puntos de potencia media.

F_{1}, F_{2} = F_{0} (\sqrt{1 + \frac{1}{4 q^{2}}} \mp \frac{1}{2 q}) [1]

$f_1, f_2 = f_0 \left ( \sqrt {1 + \frac {1}{4Q^2}}\ \mp\ \frac {1}{2Q}\right ) \ \ \ \ [1]$ Q = 2 y

f_{0}

$f_0$ = 1591.549 Hz.

Entonces $f_1 = 1591.549Hz \times \left ( \sqrt {1 + \frac {1}{4 \times 2^2}}\ -\ \frac {1}{2 \times 2}\right )$ = 1242.644Hz y $f_2$ = 2038.419 Hz.

O:

F_{1}, F_{2} = F_{0} (\sqrt{{(\frac{R}{2 L})}^{2} + \frac{1}{L C}} \mp \frac{R}{2 L}) [2]

$f_1, f_2 = f_0 \left ( \sqrt {\left ({\frac {R}{2L}} \right )^2 + \frac {1}{LC}}\ \mp\ \frac {R}{2L}\right ) \ \ \ \ [2]$

Capítulo de resonancia

El resto no es parte de la respuesta, pero muchas referencias no muestran cómo se derivan las fórmulas.

Derivación de puntos de media potencia a partir del factor de calidad.

Factor de calidad:

q = \frac{F_{0}}{B W} = \frac{F_{0}}{F_{2} - F_{1}} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{ω_{0} L}{R}

$Q = \frac {f_0}{BW} = \frac {f_0}{f_2\ -\ f_1} = \frac {1}{R} \sqrt {\frac {L}{C}} = \frac {\omega_0 \ L}{R}$

Resonancia:

ω_{0} = \frac{1}{\sqrt{L C}}

$\omega_0 = \frac {1}{\sqrt {LC}}$

En $\theta = 45^{\circ}, Z = \sqrt {2} R$ .

\sqrt{R^{2} + {(ω L - \frac{1}{ω C})}^{2}} = \sqrt{2} R

$\sqrt {R^2 +\left ({\omega L - \frac {1}{\omega C}} \right )^2} = \sqrt {2} R$

R^{2} + {(ω L - \frac{1}{ω C})}^{2} = 2 R^{2}

$R^2 +\left ({\omega L - \frac {1}{\omega C}} \right )^2 = 2 R^2$

{(ω L - \frac{1}{ω C})}^{2} = R^{2}

$\left ({\omega L - \frac {1}{\omega C}}\right )^2 = R^2$

ω L - \frac{1}{ω C} = R

$\omega L - \frac {1}{\omega C} = R$

ω^{2} L C - ω R C - 1 = 0

$\omega^2 LC - \omega RC - 1 = 0$

ω^{2} - ω \frac{R}{L} - \frac{1}{L C} = 0

$\omega^2 - \omega \frac {R}{L} - \frac {1}{LC} = 0$ Lo que da

[2]

$[2]$ cuando se aplica a la fórmula cuadrática.

ω^{2} - ω \frac{ω_{0}}{q} - ω_{0}^{2} = 0

$\omega^2 - \omega \frac {\omega_0}{Q} - \omega_0^2 = 0$ Lo que da

[1]

$[1]$ cuando se aplica a la fórmula cuadrática.

Esto es lo que estaba esperando. Gracias, analizaré lo que publicaste, así que ten paciencia, tomará un poco de tiempo antes de que pueda aceptar tu respuesta.

campbell · Answer 2

Dado que la diferencia entre los ángulos de fase de tensión y corriente es pi/4, el ángulo de la impedancia equivalente, Z, es igual a pi/4. Entonces debes escribir la ecuación:

Z = jwL + 1/(jwC) + 50 = 50 + j (wL + 1/(wC))

Luego resuelve la ecuación para el ángulo (tangente(pi/4) = "opp"/"adj"):

Todavía tengo que usar la cuadrática siguiendo este método.
El uso de la fórmula cuadrática es común para los problemas de circuitos RLC. No creo que debas pensar que no estás en la solución correcta cuando tienes que utilizarla.

Zeta.Investigador · Answer 3

La impedancia es R + jwL + 1/jwC. La fase de Z debe ser pi/4 (o -pi/4, la pregunta no está clara al respecto).
Entonces, la fase{(jwRC - w^2LC + 1 ) / jwC} debería ser +- pi/4. Por lo tanto:

arctan(wRC / (1 - w^2LC)) - pi / 2 = +- pi/4.

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daniel tork

Chu

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Chu

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